在处理公司合法解除劳动关系的赔偿问题时，我们需要根据具体情况来详细分析。以下是对不同情形下公司解除劳动关系所需承担的赔偿责任的清晰梳理：

一、公司无需支付经济补偿的情形

若劳动者存在以下过错，公司有权合法解除劳动合同且无需支付经济补偿：

1. 试用期间不符合录用条件：若劳动者在试用期内被证明不符合公司设定的录用条件，公司可以解除劳动合同。
2. 严重违反公司规章制度：劳动者若严重违反公司规章制度，且该规章制度经过民主程序制定并向劳动者公示，公司有权解除劳动合同。
3. 严重失职、营私舞弊，给公司造成重大损害：劳动者因严重失职或营私舞弊行为给公司造成重大损害的，公司可以解除劳动合同。
4. 与其他公司建立劳动关系，对本单位工作造成严重影响或拒不改正：若劳动者同时与其他公司建立劳动关系，且对本单位工作造成严重影响，或经公司提出后拒不改正的，公司可以解除劳动合同。
5. 以欺诈、胁迫手段或乘人之危订立或变更劳动合同，导致合同无效：若劳动者以欺诈、胁迫手段或乘人之危与公司订立或变更劳动合同，导致合同无效的，公司可以解除劳动合同。
6. 被依法追究刑事责任：若劳动者被依法追究刑事责任，公司可以解除劳动合同。

二、公司需支付经济补偿的情形及标准

在以下情形中，公司合法解除劳动合同应向劳动者支付经济补偿：

1. 双方协商一致解除：当用人单位提出并与劳动者协商一致解除劳动合同时，用人单位必须向劳动者支付经济补偿。补偿标准按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资。月工资的计算依据是劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。

2. 特定情形下解除：

   • 劳动者因病或非因工负伤，医疗期满后无法从事原工作或另行安排的工作；
   • 劳动者不能胜任工作，经培训或调整岗位后仍不能胜任；
   • 劳动合同订立时的客观情况发生重大变化，无法履行且未达成变更协议；
   • 公司因破产重整、生产经营困难、转产等技术革新或经营方式调整需裁减人员；
   • 其他因客观经济情况变化导致合同无法履行而裁减人员；
   • 劳动合同期满，除用人单位维持或提高条件续订而劳动者不同意的情况外；
   • 用人单位被依法宣告破产、吊销营业执照、责令关闭、撤销或提前解散。

经济补偿标准同样按工作年限计算，每满一年支付一个月工资。对于月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的劳动者，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，最高不超过十二年。

三、公司违法解除需支付赔偿金的情形

若公司违反《劳动合同法》规定解除或终止劳动合同，如无故解雇或在员工处于孕期、产期、哺乳期等不得解除的期间解除劳动关系，公司应依照上述经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

四、额外注意事项

• 代通知金：若公司未提前一个月通知员工即解雇，还需额外支付一个月工资作为代通知金。但这一规定并非所有情况下都适用，具体需根据当地法律法规和劳动合同约定来确定。

实际操作建议

在实际处理公司解除劳动关系补偿问题时，劳动者应注意收集相关证据（如劳动合同、工资条、工作证、考勤记录等）以维护自己的合法权益。若双方就补偿问题无法协商一致，可通过劳动仲裁或诉讼等法律途径解决。

综上所述，公司在解除劳动关系时，应根据具体情形判断是否需要支付经济补偿或赔偿金，并严格按照法律规定执行。这有助于维护劳动者的合法权益，也能确保公司的合法运营和稳定发展。