员工和公司解除劳动关系时的赔偿问题，需根据解除的具体情形来确定，以下是不同情况下的赔偿规则：
协商一致解除劳动关系
- 公司提出解除：根据《劳动合同法》第四十六条和第四十七条，公司需按员工在本单位的工作年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付经济补偿。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。月工资是指员工在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资，且不得高于当地上年度职工月平均工资的三倍。
- 员工提出解除：若员工主动提出解除劳动关系，且与公司协商一致，公司通常无需支付经济补偿，除非双方另有约定。
公司单方面解除劳动关系
- 合法解除（如员工严重违纪、不能胜任工作等）：若公司因员工严重违反公司规章制度、严重失职造成重大损害、不能胜任工作经培训或调岗后仍不能胜任等合法理由解除劳动关系，公司无需支付经济补偿。但需注意，公司需承担举证责任，证明解除行为的合法性。
- 违法解除：若公司无法证明解除行为的合法性，或解除行为违反法律、行政法规的强制性规定，员工有权要求公司继续履行劳动合同或支付赔偿金。赔偿金的标准为经济补偿的两倍。
员工单方面解除劳动关系
- 预告解除：员工提前三十日以书面形式通知公司（试用期提前三日），可以解除劳动合同。此种情况下，公司无需支付经济补偿。
- 即时解除：若公司存在未及时足额支付劳动报酬、未依法为劳动者缴纳社会保险费等违法行为，员工可以立即解除劳动合同，并有权要求公司支付经济补偿。
特殊情形下的解除
- 经济性裁员：因公司经营状况发生严重困难等法定原因，公司需要裁减人员二十人以上或者裁减不足二十人但占企业职工总数百分之十以上的，公司需提前三十日向工会或者全体职工说明情况，听取意见后，裁减人员方案经向劳动行政部门报告，可以裁减人员。此种情况下，公司需按员工的工作年限支付经济补偿。
- 劳动合同终止：若劳动合同因期满、公司被依法宣告破产等原因终止，公司也需按员工的工作年限支付经济补偿。
建议：在解除劳动关系时，建议双方尽量通过协商达成一致，并签订书面协议明确赔偿金额和支付方式。若发生争议，可先向当地劳动争议调解组织申请调解，或直接向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。如有具体问题，欢迎随时向我咨询。