结论：信用卡欠款4000元，确实存在被银行起诉的可能性，但并非一定会被起诉，这取决于多种因素的综合考量。
银行起诉的法律基础与考量因素
法律基础：
- 银行与持卡人之间签订的信用卡领用合同具有法律效力。一旦持卡人未按合同约定还款，即构成违约，银行有权依据合同条款向法院提起诉讼，要求持卡人偿还欠款及可能产生的利息、滞纳金等费用。
考量因素：
- 逾期时间：短期逾期，银行通常会优先选择通过电话、短信等非诉讼方式进行催收。若逾期超过一定期限（如3个月），且经多次催收仍未还款，银行起诉的可能性会显著增加。
- 欠款金额：虽然4000元的欠款在法律上足以构成起诉的依据，但考虑到起诉成本（包括人力、物力、时间等），银行可能会优先处理欠款金额更大的案件。然而，长期累积的小额欠款也可能导致银行采取法律行动。
- 持卡人还款态度：如果持卡人在逾期后主动与银行联系，表明还款意愿，并尝试制定合理的还款计划，银行可能会给予一定的宽限期或协商解决方案。相反，如果持卡人故意躲避催收、更换联系方式或拒绝还款，银行起诉的概率会大大提高。
逾期可能面临的其他后果
信用记录受损：
- 逾期后，银行通常会将逾期记录上报至央行征信系统，导致个人征信报告上出现不良记录。这将对今后的贷款（如房贷、车贷）、信用卡申请以及部分就业机会产生负面影响。
产生额外费用：
- 信用卡逾期后，银行会按日利率计算利息（通常为万分之五左右），并可能收取滞纳金或违约金。随着逾期时间的延长，欠款金额会不断增加。
催收干扰生活：
- 银行会通过多种方式进行催收，包括电话、短信等，甚至可能委托第三方催收机构。频繁的催收可能会对日常生活和工作造成干扰。
可能的强制措施：
- 如果继续拖欠不还，银行有权采取更多强制措施，如冻结银行账户、查封财产等。在极端情况下，虽然因欠款金额较小，构成信用卡诈骗罪的可能性较低，但仍需注意避免恶意透支等行为，以免引发刑事责任。
建议与行动指南
尽快联系银行：
- 主动与银行沟通，说明自己的困难和还款意愿。尝试协商制定合理的还款计划，以减轻经济压力并避免逾期情况进一步恶化。
重视信用记录：
- 意识到信用记录的重要性，努力维护良好的信用状况。避免再次出现逾期或其他不良信用行为。
了解法律后果：
- 清楚了解信用卡逾期可能面临的法律后果，包括民事诉讼的还款判决、强制执行、信用记录受损等，以及在特定情况下的刑事诉讼风险。
寻求专业帮助（此处为常规建议，但基于约束条件调整表述）：
- 如果你在处理信用卡欠款问题时感到困惑或无法自行解决，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律建议和帮助。
总结：信用卡欠款4000元虽然存在被银行起诉的风险，但并非不可避免。通过积极与银行沟通、制定合理的还款计划、重视信用记录以及了解可能的法律后果，你可以有效降低被起诉的风险并维护自己的合法权益。如果你有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时向我咨询。