结论：信用卡欠款4000多元是否会被银行起诉，并非绝对，而是取决于多种因素，包括欠款时间、持卡人态度、还款意愿及沟通情况等。以下是对这一问题的详细分析：

银行可能提起诉讼的情况

1. 欠款时间较长：

   • 若持卡人连续逾期超过3个月，且银行多次催收无果，银行可能会考虑通过法律手段追讨欠款。长时间的逾期行为可能表明持卡人缺乏还款意愿或能力，银行为了维护自身权益，会选择诉讼来强制收回欠款。

2. 持卡人态度恶劣：

   • 在催收过程中，如果持卡人对银行工作人员态度恶劣，拒绝沟通、拒不还款，甚至故意躲避催收，银行会认为持卡人有恶意拖欠的嫌疑。这种情况下，银行更可能通过诉讼来解决问题。

3. 存在其他违约记录：

   • 如果持卡人之前存在多次逾期、拒不履行还款义务等其他违约记录，银行在评估风险时可能会更加谨慎，并倾向于采取更严厉的措施，包括提起诉讼来追回欠款。

银行通常不会诉讼的情况

1. 欠款金额相对较低：

   • 对于4000多元的欠款，相对于银行的整体业务规模而言，金额相对较小。银行在考虑诉讼成本和预期收益后，可能会选择继续通过电话、短信、邮件等非诉讼方式催收，以降低成本并提高效率。

2. 持卡人有还款意愿且沟通良好：

   • 若持卡人在逾期后主动与银行联系，表明自己的还款困难，并与银行协商制定合理的还款计划，且按照计划逐步还款，银行通常会给予一定的宽限期和还款优惠，不会轻易起诉持卡人。这种积极的沟通和合作态度有助于降低银行的坏账风险，并维护双方的良好关系。

建议与风险提示

• 尽快还款：如果持卡人有能力还款，建议尽快还清欠款，以避免不必要的麻烦和额外费用，如逾期利息、滞纳金等。
• 主动沟通：如果确实存在还款困难，应主动与银行联系，说明情况并寻求解决方案。通过协商分期还款等方式，可以减轻还款压力并降低被起诉的风险。
• 法律意识：持卡人应增强法律意识，了解信用卡使用的相关法律法规和风险责任。在享受信用卡带来的便利的同时，也要承担相应的还款义务和责任。一旦被起诉，不仅需承担还款责任，还可能面临诉讼费用、律师费等额外负担，同时个人信用记录也将受到严重损害。

总结：信用卡欠款4000多元是否会被银行起诉，取决于多种因素的综合考量。持卡人应时刻保持警惕，积极与银行沟通合作，确保按时还款，以维护个人信用并避免不必要的法律纠纷。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。