结论：信用卡欠款5000元，在一般情况下不太可能被银行直接起诉，但若持卡人长期拖欠、拒绝沟通或毫无还款意愿，银行则有权向法院提起诉讼。
一、银行起诉的条件与可能性
逾期时间与催收次数：
- 银行在决定是否起诉时，会考虑逾期时间和催收次数。一般来说，如果信用卡逾期超过90天，且银行至少进行了两次有效催收后，持卡人依然没有还款意愿和行动，银行起诉的可能性就会显著增加。
- 有的银行在连续三次郑重催款未果后，可能会向持卡人发起正式律师函通知，作为起诉前的最后警告。
欠款金额与成本收益评估：
- 虽然5000元的欠款金额相对不算特别巨大，但银行在决定是否起诉时，会综合考虑起诉成本与可能收回欠款之间的关系。若起诉所需耗费的人力、物力、时间成本较高，而追回5000元欠款及相关费用的收益相对有限，银行可能会优先选择其他更为经济有效的追讨方式，如加强催收力度、与持卡人协商制定还款计划等。
- 然而，这并不意味着小金额欠款就可以被忽视。任何未偿还的债务都可能对持卡人的信用记录造成负面影响，且银行在特定情况下仍可能选择起诉。
二、可能面临的法律后果
民事责任：
- 一旦被起诉且持卡人败诉，不仅需要偿还本金5000元，还需承担逾期利息、违约金以及银行起诉所产生的合理费用（如诉讼费等）。
强制执行措施：
- 如果持卡人拒不执行法院的判决，银行可以申请强制执行，包括但不限于冻结账户、查封财产等措施。这将对持卡人的个人信用记录产生严重不良影响，还可能面临财产损失。
刑事责任（极端情况）：
- 如果持卡人以非法占有为目的，超过规定限额或者规定期限透支，并经发卡银行两次催收后超过3个月仍不归还，还可能被认定为恶意透支，涉嫌信用卡诈骗的犯罪行为。此时，银行有权依法追究其刑事责任。不过，这种情况较为极端，且需要满足严格的法律条件。
三、建议与应对策略
积极沟通：
- 持卡人应尽快与银行取得联系，积极沟通还款事宜，表明自己的还款意愿和计划。这有助于避免银行采取更严厉的催收措施或提起诉讼。
协商还款方案：
- 如果确实存在还款困难，可以主动与银行协商，寻求个性化的还款方案，如分期还款、延期还款等。这有助于减轻还款压力并避免被起诉。
保持良好信用记录：
- 持卡人应时刻关注自己的信用记录，避免逾期还款等不良行为的发生。良好的信用记录对于个人未来的金融活动至关重要。
总结：信用卡欠款5000元虽非巨额欠款，但仍需高度重视并及时处理。通过与银行的积极沟通与协商，制定合适的还款方案，是避免法律纠纷和信用损失的有效途径。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。