结论：当自己的狗被别人家的狗咬伤时，起诉的案由通常为“动物致人损害责任纠纷”或更具体地表述为“饲养动物损害责任纠纷”。

详细分析：

1. 案由确定：

   • 在此类案件中，由于涉及到的是动物（狗）之间的相互伤害，但实际上是动物饲养人或管理人因未尽到管理责任而导致的损害，因此，案由通常与动物致人损害相关。
   • 在法律实践中，更具体的案由可能是“饲养动物损害责任纠纷”，这更准确地反映了案件的性质，即因饲养动物（狗）未得到妥善管理而导致的损害责任问题。

2. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国民法典》中关于侵权责任的相关规定，饲养的动物造成他人损害的，动物饲养人或者管理人应当承担侵权责任。这一规定同样适用于动物之间的相互伤害，因为从法律角度看，动物本身不具备法律责任能力，其造成的损害应由其饲养人或管理人承担。
   • 如果能够证明损害是由被侵权人故意或者重大过失造成的，动物饲养人或者管理人可以不承担或者减轻责任。但在大多数情况下，尤其是当自己的狗被别人的狗咬伤时，除非有证据表明自己的狗存在挑衅或攻击行为，否则通常认为被侵权人（即自己）无过错。

3. 诉讼准备：

   • 在提起诉讼前，应收集相关证据，如现场照片、视频、证人证言等，以证明自己的狗确实被别人的狗咬伤，并且这一损害是由对方的狗造成的。
   • 同时，应保留好所有与治疗、护理等相关的费用单据，以便在诉讼中要求对方赔偿。

4. 诉讼过程：

   • 提起诉讼时，应向法院提交起诉状，明确诉讼请求（如要求对方赔偿医疗费、护理费等）、事实和理由（即自己的狗被别人的狗咬伤的事实及法律依据）。
   • 法院将依法审理案件，并根据双方提供的证据和法律规定作出判决。

5. 后续执行：

   • 如果判决对方承担赔偿责任，但对方拒不履行，可以向法院申请强制执行，通过法律手段维护自己的合法权益。

建议：

• 在处理此类纠纷时，建议首先尝试与对方协商解决，以节省时间和成本。
• 如果协商无果，再考虑通过法律途径解决。在提起诉讼前，最好咨询专业律师（当然，你可以直接向我咨询，我专注于侵权纠纷等领域），以更准确地评估案件情况和制定诉讼策略。

如有其他疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我提问。