您好，关于父子关系证明由哪个部门开具以及是否有法律依据的问题，我可以为您详细解答。

首先，父子关系证明的开具部门主要取决于您需要证明的具体情况以及可用的证明材料。

1. 如果父子关系可以通过法定证件证明：

   • 例如，您持有《出生医学证明》，这是证明父子关系最直接且有效的法定证件。在这种情况下，通常不需要额外开具父子关系证明。

2. 如果无法通过法定证件证明，且需要公安派出所开具相关证明：

   • 根据公安部等12个部门联合发布的《关于改进和规范公安派出所出具证明工作的意见》（公通字〔2016〕21号），对于曾经同户人员间的亲属关系，如果历史户籍档案等能够反映，公安派出所在核实后应当出具相关证明。
   • 但是，如果未曾经在一户，且历史户籍档案等不能够反映亲属关系，派出所则不能出具证明。在这种情况下，您可能需要通过其他方式证明父子关系，如个人工作档案、个人声明（在特定情况下可能需配合其他证据使用）或进行DNA亲缘鉴定。

3. 特殊情况下的证明方式：

   • 如果涉及财产继承等法律事务，且需要更正式的父子关系证明，您可能需要到公证机关进行公证证明。公证机关会根据您提供的材料和相关法律规定，出具具有法律效力的父子关系公证书。
   • 另外，鉴定机构出具的DNA亲缘鉴定报告也是证明父子关系的一种有效方式，尤其在无法通过其他方式证明的情况下。

法律依据：

• 公安部等12个部门联合发布的《关于改进和规范公安派出所出具证明工作的意见》明确了公安派出所在出具亲属关系证明方面的职责和范围。
• 同时，国家现有可证明父子关系的证件包括《出生医学证明》和鉴定机构出具的DNA亲缘鉴定报告，这些证件和报告在法律上具有相应的效力。

综上所述，父子关系证明的开具部门取决于具体情况和可用证明材料。在大多数情况下，如果持有《出生医学证明》等法定证件，则无需额外开具证明；如果无法通过法定证件证明，且需要公安派出所开具相关证明，则需根据历史户籍档案等情况进行判断；在特殊情况下，可能需要到公证机关进行公证证明或进行DNA亲缘鉴定。希望这些解答能够帮助到您。