结论：轻伤一级案件在一定条件下可以就民事赔偿部分进行“私了”，但刑事责任的追究需根据具体情况及法律规定来确定，且私了并不能完全排除法律追究的可能性。
一、民事赔偿部分的“私了”
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，侵害他人造成人身损害的，应当赔偿医疗费、护理费、交通费等为治疗和康复支出的合理费用，以及因误工减少的收入。因此，在轻伤一级案件中，双方可以就这些赔偿项目进行协商，达成一致后签订赔偿协议。
私了方式：
- 双方可以就赔偿的具体项目、金额等进行协商，例如受害者花费的医疗费、误工损失等，加害方可以支付这些费用以及额外的精神损害抚慰金等，以达成和解。
注意事项：
- 私了必须基于双方自愿，不存在欺诈或胁迫行为，否则赔偿协议可能无效。
- 为避免后续纠纷，双方应签订书面赔偿协议，明确各项费用的承担方式。
二、刑事责任的追究
法律规定：
- 根据《中华人民共和国刑法》第二百三十四条，故意伤害他人身体致轻伤一级的，构成故意伤害罪，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。这意味着，即使双方就民事赔偿部分达成了和解，刑事责任的追究仍然可能进行。
刑事和解的可能性：
- 在部分轻伤案件中，如果符合特定条件（如可能判处三年以下有期徒刑、犯罪嫌疑人真诚悔罪等），双方可以达成刑事和解。根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，达成和解协议的，公安机关、人民检察院、人民法院可以依法从宽处理，包括提出从宽处罚建议、作出不起诉决定或判处缓刑等。
- 然而，如果犯罪嫌疑人的行为存在其他严重情节，如手段残忍、社会影响恶劣等，即使民事赔偿达成协议，司法机关也可能追究刑事责任。
法律后果：
- 即使双方就民事赔偿部分达成了和解，如果司法机关认为需要追究刑事责任，犯罪嫌疑人仍然可能面临刑事处罚。但达成和解可以作为量刑时的一个考虑因素，可能影响法院的判决结果。
三、建议与注意事项
及时报警并寻求医疗救助：
- 在发生轻伤一级案件时，首先应报警并寻求医疗救助。警方将进行调查以确定责任归属，同时受伤者也有权要求加害者进行赔偿。
谨慎考虑私了：
- 私了虽然可以快速解决民事赔偿问题，但可能带来法律风险和公平公正问题。受伤者可能因急于解决问题而接受不利条件，加害者则可能借此逃避法律责任。
咨询专业律师：
- 在处理轻伤一级案件时，建议咨询专业律师以了解自身权益和可能的法律后果。律师可以提供法律建议、协助谈判和签订赔偿协议等。
保持理性态度：
- 双方应保持冷静理性，避免情绪化行为导致事态恶化。通过法律途径解决问题更为稳妥有效。
示例说明：假设在一起轻伤一级案件中，受害者与加害者就民事赔偿部分达成了和解协议，加害者支付了医疗费、误工损失等费用。然而，如果司法机关认为加害者的行为构成犯罪且需要追究刑事责任，那么加害者仍然可能面临刑事处罚。但达成和解可以作为量刑时的一个考虑因素，可能使法院对其从宽处理。
总之，轻伤一级案件在一定条件下可以就民事赔偿部分进行“私了”，但刑事责任的追究需根据具体情况及法律规定来确定。在处理此类案件时，建议保持理性态度并咨询专业律师以了解自身权益和可能的法律后果。