结论：第二份劳动合同到期后，如果单位不续签，且不存在用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同而劳动者不同意续订的情形，那么单位是需要向劳动者支付经济补偿的。
分析说明：
法律依据：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条第一项，劳动合同期满的，劳动合同终止。这意味着，如果第二份劳动合同到期，且没有续签，那么劳动合同将在到期日自动终止。
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条第五项，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，依照本法第四十四条第一项规定终止固定期限劳动合同的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
经济补偿的计算：
- 经济补偿的具体数额根据劳动者在本单位工作的年限来确定。每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
- 如果劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，那么支付经济补偿的标准将按职工月平均工资三倍的数额来支付，且支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
- 月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。
计算公式（以工作满N年为例）：
- 如果N年为整数：经济补偿 = N × 月工资
- 如果N年包含不满一年的部分（设为M个月，0 < M < 6）：经济补偿 = (N-1) × 月工资 + 0.5 × 月工资（即按N年整计算，但最后一年不满六个月按半个月工资计算，此处为简化表达，实际应为向下取整的年数加0.5）
- 更精确的表达为：经济补偿 = 整数年数 × 月工资 + (若有余数且余数≥6则加1，否则加0.5) × 月工资（但通常我们直接按N年整或N-1年加0.5年来计算）
- 如果月工资高于当地职工月平均工资三倍：经济补偿 = Min(N, 12) × 当地职工月平均工资三倍（其中N为按上述方法计算出的年数，但最高不超过12）
特殊场景：
- 如果用人单位在劳动合同到期前就明确表示不续签，或者劳动合同到期后用人单位未提出续签而劳动合同自然终止，且不符合“用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订”的情形，那么用人单位都需要支付经济补偿。
- 如果劳动者因为个人原因（如找到更好的工作、想休息一段时间等）而不想续签劳动合同，那么用人单位就不需要支付经济补偿。
行动建议：
- 作为劳动者，在面临第二份劳动合同到期不续签的情况时，应首先与用人单位进行沟通，了解不续签的具体原因，并确认是否符合支付经济补偿的条件。
- 如果用人单位拒绝支付经济补偿或存在其他违法行为，劳动者可以向当地劳动监察部门投诉，或者依法申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
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