结论前置：检察院作出法定不起诉决定后，公安机关一般应当撤案，因为此时案件在法律上不构成犯罪，继续侦查已无必要。但具体处理还需根据案件实际情况和检察院的意见进行进一步审查。

详细分析：

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》第一百七十七条，若犯罪嫌疑人没有犯罪事实或存在法定不起诉情形，人民检察院应当作出不起诉决定。此时，公安机关的侦查活动作为刑事诉讼程序的前期环节，在检察院作出不起诉决定后，原则上应撤案。

2. 法定不起诉的情形：

   • 法定不起诉，即犯罪嫌疑人没有犯罪事实，或者有《中华人民共和国刑事诉讼法》第十六条规定的情形之一的，如情节显著轻微、危害不大，不认为是犯罪的；犯罪已过追诉时效期限的；经特赦令免除刑罚的等。在这些情形下，公安机关应当撤案，因为案件在法律上不构成犯罪或已无法律追诉的必要性。

3. 公安机关的后续处理：

   • 检察院作出不起诉决定后，公安机关并非必须立即撤案，而是需要对案件进行重新审查。若经审查认为确实无犯罪事实或犯罪事实显著轻微、不需追究刑事责任，则应撤案。
   • 若在重新审查中发现新证据或认为有继续侦查必要，公安机关可继续开展侦查工作，但这种情况较为少见，且需符合相关法律规定和程序要求。

4. 特殊情况的考虑：

   • 在某些特殊情况下，如存疑不起诉（证据不足不起诉）的情形下，公安机关可能会根据案件的实际情况和检察院的意见，决定是否进一步补充侦查或直接撤案。这体现了刑事诉讼程序的灵活性和严谨性。

总结： 综上所述，检察院作出法定不起诉决定后，公安机关一般应当撤案。但具体处理还需根据案件实际情况和检察院的意见进行进一步审查。若经审查认为确实无犯罪事实或不需追究刑事责任，则应撤案；若发现新证据或认为有继续侦查必要，则需依法进行相应处理。这一流程既保障了犯罪嫌疑人的合法权益，也确保了案件的公正处理。