在以下情况下，当事人可以向人民检察院提出抗诉申请：
人民法院驳回再审申请的情形：
- 若当事人向人民法院申请再审，但人民法院裁定驳回再审申请，且当事人认为该裁定存在错误，可以向人民检察院申请抗诉。这是基于《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，人民检察院有权对人民法院的民事审判活动进行法律监督，包括再审申请的驳回裁定。
人民法院逾期未对再审申请作出裁定的情形：
- 当事人向人民法院申请再审后，若人民法院逾期未对再审申请作出裁定，当事人同样可以向人民检察院申请抗诉。这种情况下，人民检察院的介入可以促使人民法院及时作出裁定，保障当事人的合法权益。
再审判决、裁定有明显错误的情形：
- 若人民法院经过再审后作出的判决、裁定存在明显错误，如事实认定不清、法律适用错误等，当事人也可以向人民检察院申请抗诉。人民检察院在审查后，若认为再审判决、裁定确实存在错误，可以依法提出抗诉，以纠正错误的判决、裁定。
抗诉的具体流程与注意事项：
- 提交抗诉申请：当事人需要向人民检察院提交书面的抗诉申请，并附上相关证据材料，以支持其抗诉请求。
- 人民检察院审查：人民检察院在收到抗诉申请后，会进行审查，包括对案件事实、法律适用、审判程序等方面的审查。
- 决定是否抗诉：经过审查后，人民检察院会决定是否提出抗诉。若决定抗诉，会制作抗诉书，并向人民法院提交。
- 抗诉的效力：人民检察院提出抗诉后，人民法院会启动再审程序，对案件进行重新审理。在再审过程中，人民检察院会派员出席法庭，支持抗诉，维护当事人的合法权益。
在申请抗诉时，当事人需要注意以下几点：
- 抗诉申请的时效性：当事人需要在法定的期限内提出抗诉申请，逾期将可能丧失申请抗诉的权利。
- 抗诉理由的充分性：当事人在提出抗诉申请时，需要提供充分的理由和证据，以支持其抗诉请求。否则，人民检察院可能不会受理其抗诉申请。
- 遵守法律程序：当事人在申请抗诉过程中，需要遵守法律程序，如提交书面申请、参加听证会等。否则，可能会影响其抗诉申请的受理和审查。
如有任何关于抗诉或相关法律问题的疑问，可以直接向我咨询。