连带责任保证主张权利的方式主要有以下几种，我将从不同角度为您详细阐述：
直接向保证人主张权利：
- 在连带责任保证中，债权人有权直接要求保证人承担保证责任，无需先向债务人追偿。这是连带责任保证的核心特征之一。
- 债权人可以通过书面通知、口头要求或诉讼等方式向保证人主张权利。书面通知应明确要求保证人履行保证责任，并保留好相关证据，如邮寄凭证、短信记录等。
通过诉讼方式主张权利：
- 如果保证人拒绝履行保证责任，债权人可以向人民法院提起诉讼，要求保证人承担连带清偿责任。
- 在诉讼过程中，债权人需要提供充分的证据证明保证关系的存在、债务人的违约事实以及保证人应承担的责任范围。
- 法院会根据相关法律法规和事实情况，判决保证人承担相应的保证责任。如果保证人不服判决，可以依法上诉。
在执行阶段直接追加保证人为被执行人：
- 在债权人获得对债务人的生效判决后，如果债务人未履行判决义务，债权人可以向法院申请强制执行。
- 在执行过程中，如果债权人发现保证人有可供执行的财产，且保证人对债务承担连带责任，债权人可以向法院申请追加保证人为被执行人，直接执行保证人的财产。
法律背景与建议：
- 法律背景：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，连带责任保证的债务人在主合同规定的债务履行期届满没有履行债务的，债权人可以要求债务人履行债务，也可以要求保证人在其保证范围内承担保证责任。
- 建议：
- 债权人在主张权利时，应确保保证合同的有效性，并明确保证人的保证范围和保证期间。
- 如果可能的话，债权人可以与保证人签订书面保证合同，并明确约定保证方式、保证范围、保证期间等关键条款，以减少纠纷的发生。
- 在主张权利过程中，债权人应保留好相关证据，如保证合同、债务人的违约证据、向保证人主张权利的证据等，以便在后续处理中维护自己的合法权益。
可能遇到的法律后果：
- 如果债权人未能在保证期间内主张权利，保证人可能免除保证责任。
- 如果债权人错误地主张权利，如向非保证人主张保证责任，可能导致诉讼失败或执行错误，给债权人带来不必要的损失。
总结与进一步思考：
- 连带责任保证为债权人提供了更多的保障，但债权人在主张权利时也需要谨慎行事，确保自己的权益得到充分保护。
- 如果您在连带责任保证方面遇到任何问题或需要进一步的法律建议，请随时向我咨询。我将根据您的具体情况，为您提供专业、全面的法律服务。