针对您提出的“商家发错货让客户退回垫付运费，但客户不愿意，事情卡在那边”的问题，以下是一个详细且有条理的解决方案：
一、沟通协商是首要步骤
诚恳交流：
- 商家应首先与客户进行友善、诚恳的交流，详细解释发错货的情况，并表达换回正确商品的强烈意愿。
- 向客户表示诚挚的歉意，以缓解其可能的不满情绪，为后续的协商打下良好的基础。
了解原因：
- 深入探究客户不愿退回的具体原因，比如商品是否已经使用、对换货流程是否有疑虑、是否担心退货运费等。
- 通过了解客户的顾虑，商家可以更有针对性地提供解决方案。
提出方案：
- 根据客户的顾虑，商家可以提出合理的解决方案，如承担退货运费、简化换货流程、提供换货便利等。
- 如果客户对商品有特别的喜好或需求，商家也可以考虑提供其他替代商品或优惠，以消除客户的后顾之忧。
二、提供补偿或优惠以增进合作
经济补偿：
- 如果客户因使用发错的商品而产生不便或损失，商家可以考虑给予一定的经济补偿，如退款部分金额、提供优惠券等。
- 这种补偿不仅是对客户损失的弥补，也是商家诚意和责任心的体现。
额外服务：
- 商家还可以提供额外的服务或折扣，如赠送小礼品、延长保修期等，以作为对客户配合退货的回报。
- 这些额外服务可以增强客户对商家的好感度和忠诚度。
三、明确法律责任以维护权益
法律依据：
- 商家应向客户说明根据相关法律法规和交易条款，商家有权要求退回发错的商品，并强调这是商家的合法权益。
- 通过明确法律依据，商家可以增强自己的立场和说服力。
法律后果：
- 温和但坚定地告知客户，若坚持不退回错发商品，可能面临的法律后果，如不当得利诉讼、强制执行等。
- 这种告知并非威胁，而是让客户了解行为的严重性和可能带来的后果。
四、寻求第三方协助以公正解决
调解机构：
- 如果双方无法达成一致，商家可以考虑邀请消费者协会、市场监管部门等第三方机构进行调解。
- 第三方机构可以提供公正、合理的解决方案，并帮助双方达成和解。
记录沟通过程：
- 在整个沟通过程中，商家应通过正式渠道记录与客户的交流内容，确保双方权益得到保障。
- 这些记录可以为后续可能的法律程序提供证据支持。
五、法律途径作为最后手段
备份证据：
- 商家应保留好所有相关证据，包括聊天记录、发货凭证、商品照片、书面通知记录等。
- 这些证据是商家在法律程序中维护自己权益的重要依据。
申请支付令或提起诉讼：
- 如果客户承认收到错发货物但拒绝退回，且双方对事实没有争议，商家可以向法院申请支付令，要求客户在规定期限内退回货物或支付相应货款。
- 如果协商、调解和其他非诉讼方式均无法解决问题，且涉及金额较大或影响恶劣，商家可以向有管辖权的法院提起民事诉讼。
六、加强内部管理以预防类似问题
预防措施：
- 商家应加强内部发货管理，完善发货流程和核对机制，以避免类似情况再次发生。
- 通过引入先进的仓储管理系统和发货流程优化，商家可以提高发货准确性和效率。
培训员工：
- 商家应定期对员工进行发货培训和法律意识教育，提高员工的责任心和专业素养。
- 通过培训，员工可以更加熟悉发货流程和法律法规，减少发错货等问题的发生。
综上所述，商家在处理发错货且客户不愿退回的问题时，应保持冷静和专业，尽量通过友好协商解决。同时，也要明确法律责任和底线，必要时采取法律手段维护自身权益。此外，加强内部管理和预防措施也是避免此类问题再次发生的关键。