员工未签合同被解雇，用人单位需承担违法解除劳动合同的赔偿责任，同时可能涉及未签订书面劳动合同的双倍工资差额补偿。具体分析如下：

1. 违法解除劳动合同的赔偿金
   根据《劳动合同法》第48条、87条，若用人单位无法证明解雇的合法性（如员工存在严重违纪、不能胜任工作等法定情形），则构成违法解除，需支付赔偿金。赔偿金标准为经济补偿金的2倍，即按员工工作年限计算，每满1年支付2个月工资（例如：工作3年则赔偿6个月工资）。
   例外情形：若员工主动要求解除劳动关系或存在《劳动合同法》第39条规定的过错（如严重违反规章制度、被追究刑事责任等），用人单位无需支付赔偿金。

2. 未签订书面劳动合同的双倍工资差额
   根据《劳动合同法》第82条，用人单位自用工之日起超过1个月不满1年未与员工签订书面劳动合同的，需支付双倍工资差额（即除已支付工资外，再补发11个月工资）。若超过1年仍未签订，则视为已订立无固定期限劳动合同，但用人单位仍需支付用工满1年的次日至订立合同前一日的双倍工资差额。
   注意：双倍工资差额的仲裁时效为1年，自员工知道或应当知道权利被侵害之日起计算（通常为未签合同满1年的次日）。

3. 其他可能的补偿

   • 代通知金：若用人单位依据《劳动合同法》第40条（如医疗期满、不能胜任工作等）解除合同，但未提前30日通知，需支付1个月工资作为代通知金。但违法解除情形下不适用此规定。
     
   • 加班费、未休年假工资等：若存在未支付的劳动报酬，员工可一并主张。

建议行动步骤：

1. 收集证据：工资条、考勤记录、工作证、同事证言等证明劳动关系及工作年限的材料；
   
2. 与用人单位协商赔偿方案；
   
3. 若协商无果，向当地劳动仲裁委员会申请仲裁（时效为1年）；
   
4. 对仲裁结果不服的，可向法院提起诉讼。
   

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