结论：公司法人让财务给私人转账支付设计费，且没有签设计合同、没有开发票的行为，确实存在违法风险，具体涉及税务和合同两方面的问题。
一、税务方面的问题
未开发票的风险：
- 根据《中华人民共和国发票管理办法》的规定，销售商品、提供服务以及从事其他经营活动的单位和个人，对外发生经营业务收取款项，收款方应当向付款方开具发票。因此，设计服务提供方在收到款项后，有义务向公司开具发票。如果未开具发票，可能面临税务机关的处罚，包括罚款等。
- 对于公司而言，如果未取得合法有效的发票作为税前扣除凭证，那么这笔设计费用可能无法在企业所得税前扣除，从而增加公司的税务负担。
税务合规建议：
- 公司应要求设计服务提供方开具合法有效的发票，并妥善保管，以备税务机关查验。
- 如果设计服务提供方拒绝开具发票，公司应考虑更换服务提供方或采取其他合法手段维护自身权益。
二、合同方面的问题
未签设计合同的风险：
- 根据《中华人民共和国民法典》的规定，当事人订立合同，可以采用书面形式、口头形式或者其他形式。然而，对于涉及较大金额或复杂交易的设计服务，口头合同可能难以证明双方的权利义务关系，一旦发生纠纷，公司可能面临举证困难的问题。
- 未签订书面合同还可能导致双方对设计服务的范围、质量、期限等关键条款存在争议，进而影响项目的顺利进行和公司的利益。
合同合规建议：
- 公司应与设计服务提供方签订书面设计合同，明确双方的权利义务关系，包括设计服务的范围、质量、期限、费用及支付方式等关键条款。
- 合同应由双方签字或盖章确认，并妥善保管，以备不时之需。
三、综合建议
立即补签合同并开具发票：
- 如果公司已经支付了设计费用但尚未签订合同和取得发票，应尽快与设计服务提供方联系，补签书面合同并要求其开具合法有效的发票。
加强内部管理：
- 公司应建立健全的财务管理制度，确保所有经济业务都有合法有效的凭证作为支持。
- 加强对员工的培训和教育，提高员工的法律意识和合规意识，避免类似问题的再次发生。
咨询专业律师：
- 如果公司对此类问题存在疑虑或担忧，可以直接向我咨询，我会根据公司的具体情况提供专业的法律意见和解决方案。
总之，公司法人让财务给私人转账支付设计费且没有签设计合同、没有开发票的行为确实存在违法风险。公司应尽快采取措施补救并加强内部管理，以避免不必要的法律纠纷和税务风险。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。