结论：不能清偿的债务部分承担连带责任时，该部分通常包含利息和逾期利息，但具体还需根据合同约定、法律规定以及实际情况来确定。
分析说明：
合同约定优先：
- 在民间借贷中，双方通常会在借款合同中明确约定借款金额、利率、还款期限以及逾期利息等条款。如果合同中明确规定了利息和逾期利息，并且这些条款不违反法律法规的强制性规定，那么在债务人不能清偿债务时，连带责任人需要承担的债务部分自然包括这些利息和逾期利息。
法律规定补充：
- 如果合同中没有明确约定利息或逾期利息，或者约定不明确，那么根据《中华人民共和国民法典》等相关法律法规的规定，债权人仍然有权要求债务人支付合理的利息和逾期利息。在这种情况下，连带责任人也需要承担这部分费用。具体来说，如果借贷双方没有约定利息，出借人主张支付利息的，人民法院不予支持；但自然人之间借贷的，对利息约定不明，出借人主张支付利息的，人民法院可结合民间借贷合同的内容，并根据当地或者当事人的交易方式、交易习惯、市场报价利率等因素确定利息。对于逾期利息，如果借贷双方对逾期利率有约定的，从其约定，但是以不超过合同成立时一年期贷款市场报价利率四倍为限；未约定逾期利率或者约定不明的，人民法院可以区分不同情况处理。
实际情况考量：
- 在实际操作中，法院或仲裁机构在判决或裁决连带责任人承担债务时，会综合考虑合同约定、法律规定以及债务人的实际还款能力等因素。如果债务人确实无力偿还全部债务，包括利息和逾期利息，那么连带责任人可能需要承担更多的责任。但这也并不意味着连带责任人需要承担无限责任，其承担的责任仍然以合同约定和法律规定为限。
法律建议：
- 对于债权人来说，在签订借款合同时，应明确约定利息和逾期利息等条款，并确保这些条款不违反法律法规的强制性规定。这样，在债务人不能清偿债务时，可以更好地维护自己的合法权益。
- 对于连带责任人来说，在承担连带责任前，应仔细审查借款合同和相关法律法规，了解自己的权利和义务。如果认为合同中的利息或逾期利息条款不合理或违法，可以及时提出异议并寻求法律帮助。
- 在任何情况下，如果涉及复杂的债务债权问题，建议及时咨询专业律师以获取更具体的法律建议和指导。
可能后果：
- 如果连带责任人拒绝承担包含利息和逾期利息的债务部分，债权人可以通过法律途径追究其责任。法院或仲裁机构在判决或裁决时，会根据合同约定、法律规定以及实际情况来确定连带责任人应承担的债务范围。
- 如果连带责任人承担了过多的债务责任，其有权向债务人追偿。但这也需要依据合同约定和法律规定来进行，并可能需要通过法律程序来实现。