您好，开具您父亲和大爷（即您父亲的哥哥）的关系证明，通常可以通过以下几种途径来实现，我会为您详细解释每一种方法：
利用公安系统或人口信息管理系统：
- 如果公安部人口信息系统或您所在地区的人口信息管理系统中已经记载了您父亲和大爷的亲属关系信息，那么您可以直接前往当地派出所或相关户籍管理部门，请求受理业务的民警进行查询并出具证明。
提供相关证照或文件：
- 虽然《出生医学证明》主要证明的是父母与子女的关系，但在某些情况下，如果户口本或相关档案中有明确记载您父亲和大爷的兄弟关系，且这些档案与出生证明等文件相互印证，也可以作为辅助证明。不过，更直接的方式是寻找可能存在的家族档案、旧户口本或家族谱等，这些文件中可能直接记录了他们的兄弟关系。
- 如果存在其他相关法律文件，如法院关于家族财产分配或继承的判决书，且判决书中明确提到了您父亲和大爷的关系，那么这份判决书也可以作为证明。
查询历史户籍档案：
- 您可以前往当地派出所或档案馆，请求业务受理民警翻阅或查询历史户籍档案。如果档案中明确记载了您父亲和大爷的兄弟关系，民警可以据此出具证明。
提供历史或现用居民户口簿：
- 如果您家中保存有旧户口本，且旧户口本上明确记载了您父亲和大爷的兄弟关系，那么这份旧户口本就可以作为直接证明。同样，如果现用户口本上虽然未直接说明，但通过家庭成员的排列和关系描述可以推断出他们的兄弟关系，也可以尝试作为辅助证明（但这种情况可能因地区而异，具体需咨询当地户籍管理部门）。
申请亲属关系公证书：
- 您还可以前往当地公证机构，申请出具《亲属关系公证书》。在申请时，您需要提供能够证明您父亲和大爷关系的相关证据，如旧户口本、家族档案、证人证言等。公证机构会根据您提供的证据进行核实，并出具具有法律效力的公证书。
进行亲子鉴定（此方法不直接适用，但可作为参考思路）：
- 亲子鉴定主要用于证明父母与子女之间的生物学关系，对于证明兄弟关系并不直接适用。不过，在极端情况下，如果其他所有方法都无法证明您父亲和大爷的关系，且存在合理的怀疑或争议，您可以考虑通过更复杂的法律程序（如申请法院调查取证）来寻求解决方案，但这通常不是首选方法。
建议：
- 在实际操作中，我建议您首先尝试利用公安系统或人口信息管理系统进行查询，这是最直接且通常最有效的方法。
- 如果查询无果，您可以考虑提供历史或现用居民户口簿作为证明，或者前往公证机构申请出具《亲属关系公证书》。
- 在整个过程中，保持与当地户籍管理部门或公证机构的沟通，了解具体的要求和流程，以便更顺利地完成证明开具工作。
希望这些建议能对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。