结论：嫌疑人被刑事拘留后在看守所生病，若符合法定条件，可以依据相关法律规定呈请释放。具体法律依据及分析如下：
《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定：
- 第六十七条：该条款规定了取保候审的条件，其中包括“患有严重疾病、生活不能自理，怀孕或者正在哺乳自己婴儿的妇女，采取取保候审不致发生社会危险性的”。若嫌疑人在看守所生病，且病情严重到生活不能自理，或者属于怀孕、正在哺乳自己婴儿的妇女，且取保候审不会对社会造成危险，那么可以依法申请取保候审，从而呈请释放。
- 第九十六条：此条款涉及对被羁押人的健康检查。若犯罪嫌疑人、被告人被羁押，且办案机关发现其可能患有严重疾病，办案机关应当及时由羁押场所对被羁押人进行诊断，并根据诊断结果决定是否变更强制措施或者释放。这意味着，如果嫌疑人在看守所生病且病情严重，办案机关有义务进行诊断，并根据诊断结果作出相应处理。
看守所条例及实施办法的相关规定：
- 《中华人民共和国看守所条例》第二十六条：看守所应当配备必要的医疗器械和常用药品。在押人员患病，应当给予及时治疗；需要到医院治疗的，当地医院应当负责治疗；病情严重的可以依法取保候审。这一条款明确规定了看守所在押人员患病时的治疗责任，以及病情严重时可以依法取保候审的可能性。
- 《中华人民共和国看守所条例实施办法》第三十一条：对患病的人犯要及时治疗。需要到医院治疗的，当地医院应当负责治疗。病情严重的可以依法取保候审。这一条款进一步细化了看守所对患病在押人员的治疗责任，并再次强调了病情严重时可以依法取保候审。
实际操作中的考虑因素：
- 病情严重程度：并非所有疾病都足以成为呈请释放的理由。只有病情严重到影响嫌疑人基本生活能力，或者属于需要长期治疗、护理的疾病时，才可能被视为符合释放条件。
- 社会危险性评估：即使嫌疑人病情严重，也需要评估其取保候审后是否会对社会造成危险。如果评估结果显示不会造成危险，那么呈请释放的可能性会增大。
- 证据收集与案件进展：在呈请释放前，还需要考虑案件的进展和证据收集情况。如果案件关键证据已经收集完毕，且嫌疑人病情严重，那么呈请释放的合理性会增加。
建议：
- 如果您或您身边的人遇到此类情况，建议首先收集相关医疗证据，证明嫌疑人的病情严重程度。
- 同时，咨询专业律师（即我本人，孙树律师，专注于刑事辩护、取保候审领域），对案件进行全面评估，包括社会危险性、案件进展等因素。
- 根据评估结果，依法向办案机关提出取保候审或释放申请，并附上相关医疗证据和律师意见。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。