结论：在私人工厂工作20多年，您完全有权利要求工厂与您签订劳动合同，并且如果工厂未依法签订，您还可以主张相应的权益。
法律背景与解释：
劳动合同的签订义务：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，并应当订立书面劳动合同。这是用人单位的法定义务，无论劳动者在工厂工作的时间长短。
- 您在私人工厂已经工作了20多年，工厂显然应当与您签订书面劳动合同。如果至今未签，工厂已经违反了法律规定。
未签订劳动合同的法律后果：
- 如果用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 如果用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。这意味着，您有权要求工厂与您签订无固定期限的劳动合同，或者如果工厂不签，您仍然享有与无固定期限劳动合同相同的权益。
您的权利主张：
- 您有权要求工厂与您补签书面劳动合同，明确双方的权利和义务。
- 如果工厂拒绝补签或未依法支付二倍工资，您可以向当地劳动监察部门投诉，或者申请劳动仲裁，要求工厂承担相应的法律责任。
建议与行动步骤：
与工厂协商：
- 首先，您可以尝试与工厂管理层进行沟通，明确表达您希望签订书面劳动合同的意愿，并了解工厂的态度和原因。
收集证据：
- 在协商过程中，注意收集能够证明您与工厂存在劳动关系的证据，如工资单、工作证、考勤记录等。这些证据在后续的投诉或仲裁过程中将起到关键作用。
投诉或仲裁：
- 如果协商无果，您可以向当地劳动监察部门投诉工厂的违法行为，或者向劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求工厂承担未签订劳动合同的法律责任。
寻求法律援助：
- 在整个过程中，如果您感到困惑或需要专业的法律帮助，可以随时向我咨询。作为专业律师，我将根据您的具体情况提供详细的法律建议和指导。
可能遇到的法律后果与风险：
- 如果工厂在您投诉或仲裁后仍然拒绝签订劳动合同或支付二倍工资，您可能需要通过法律途径来维护自己的权益。这可能会涉及一定的时间成本和法律费用，但考虑到您已经为工厂工作了20多年，这些投入是值得的。
- 在整个过程中，请保持冷静和理性，避免与工厂发生不必要的冲突。通过合法途径来维护自己的权益是最有效的方式。