物业在私自砍伐35栋楼下公共绿化树，这一行为主要归城市绿化行政主管部门、房地产管理部门（住房和城乡建设局或房管局）以及街道办事处或社区居委会管理。以下是对这一问题的详细分析：
城市绿化行政主管部门：
- 管理依据：根据《城市绿化条例》等相关法律法规，城市绿化行政主管部门负责监管和保护城市绿化资源，对擅自砍伐城市树木等破坏绿化的行为具有调查和处理权限。小区内的公共绿地属于城市绿化的一部分，因此物业擅自砍伐树木的行为，城市绿化行政主管部门有权进行调查和处理。
- 管理措施：若发现违规砍伐，城市绿化行政主管部门可责令停止侵害、处罚款，并要求补植树木或采取其他补救措施。对于情节严重的，还可能追究相关责任人的法律责任。
房地产管理部门（住房和城乡建设局或房管局）：
- 管理依据：物业的管理活动受到房地产管理部门的监督和规范。如果物业擅自砍伐树木，违反了物业管理规定，房地产管理部门有权对其进行处罚和纠正。
- 管理措施：业主可以向当地的住房和城乡建设局或房管局提交书面投诉材料，详细说明物业砍伐树木的情况及其对小区环境和业主权益的影响。房地产管理部门在接到投诉后，会进行调查处理，并根据情况对物业进行相应的处罚。
街道办事处或社区居委会：
- 管理依据：街道办事处和社区居委会在基层社会治理中发挥着协调处理小区纠纷和问题的重要作用。它们可以介入调查物业砍伐树木的情况，并督促物业给出合理的解释和解决方案。
- 管理措施：业主可以直接前往街道办事处或社区居委会的办公地点，向相关工作人员反映情况。街道办事处或社区居委会在接到反映后，会进行调查协调，并尽力促成问题的解决。
建议行动步骤：
- 收集证据：在投诉前，业主应先收集相关证据，如照片、视频等，以证明物业擅自砍伐树木的事实。这些证据将有助于相关部门更准确地了解情况并处理问题。
- 明确投诉对象：根据上述分析，业主可以选择向城市绿化行政主管部门、房地产管理部门或街道办事处或社区居委会进行投诉。在选择投诉对象时，可以考虑问题的严重性和紧迫性，以及各部门的职责范围和处理效率。
- 提交投诉材料：向选定的投诉对象提交书面投诉材料，详细说明物业砍伐树木的情况、时间、地点以及影响等。同时，附上收集到的证据材料，以便部门能够准确了解并处理情况。
- 跟进处理结果：在提交投诉材料后，业主应跟进处理结果，了解部门是否已进行调查处理，并要求部门及时反馈处理进展和结果。如果部门未及时处理或处理结果不满意，业主可以进一步向上级部门或相关机构反映情况。
法律后果提示：
- 物业擅自砍伐树木的行为可能构成违法，将面临行政处罚甚至刑事责任。如果砍伐的树木数量较大，或属于珍贵树木、国家重点保护的其他植物，还可能构成盗伐林木罪或滥伐林木罪，面临更严重的法律后果。
- 业主作为小区的一员，有权对物业的行为进行监督并维护自己的合法权益。如果物业的行为损害了业主的利益，业主可以通过法律途径寻求救济，如向法院提起诉讼等。
希望以上分析能对您有所帮助。如果您在处理此类问题时遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。