您好，非常理解您当前面临的困境。即使单位不给出具劳动合同，您依然有权申请工伤鉴定并维护自己的合法权益。以下是我为您详细梳理的办理流程和注意事项：
一、确认劳动关系
首先，您需要证明与用人单位之间存在事实劳动关系。这是申请工伤鉴定的前提条件。您可以通过以下证据来证明：
- 工资支付凭证或记录：如银行转账明细、工资条等，这些都能显示用人单位的名称、支付时间和金额，是证明劳动关系的有力证据。
- 工作证件：包括工作证、服务证等，上面印有您的姓名、照片和用人单位名称，也是证明劳动关系的重要材料。
- 考勤记录：无论是纸质的考勤表还是电子考勤记录，都能证明您的出勤情况，从而间接证明劳动关系。
- 招用记录：如招工招聘登记表、报名表等，这些记录能证明您是通过用人单位的招聘程序进入的。
- 同事证言：如果可能的话，您可以请知晓情况的同事提供旁证，但需注意证人证言的真实性和关联性。
- 业务相关材料：如您与客户签订的合同、业务往来邮件等，这些材料能体现您代表用人单位开展工作，也是证明劳动关系的有力证据。
如果用人单位否认劳动关系，您可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，通过提交上述证据来确认事实劳动关系。
二、申请工伤认定
在确认劳动关系后，您需要向社会保险行政部门申请工伤认定。具体流程如下：
- 准备材料：您需要填写《工伤认定申请表》，并提交医疗诊断证明或职业病诊断证明书（或职业病诊断鉴定书）、劳动关系证明材料等。
- 提交申请：用人单位应在事故伤害发生之日或被诊断为职业病之日起30日内提出申请。如果用人单位未按规定时间提出，您或您的近亲属、工会组织可在事故伤害发生之日或被诊断为职业病之日起1年内直接向社会保险行政部门提出申请。
- 调查核实：社会保险行政部门会对您的申请材料进行调查核实，包括询问当事人、查阅相关资料等。
- 作出决定：社会保险行政部门在受理工伤认定申请之日起60日内作出工伤认定的决定。对事实清楚、权利义务明确的申请，可在15日内作出决定。
三、劳动能力鉴定（如需要）
如果您的伤情相对稳定后存在残疾、影响劳动能力的情况，您需要向设区的市级劳动能力鉴定委员会提出劳动能力鉴定申请。流程如下：
- 提出申请：由用人单位、您或您的近亲属提出，并提供工伤认定决定和工伤医疗的相关资料。
- 组成专家组：劳动能力鉴定委员会会从医疗卫生专家库中随机抽取专家组成专家组进行鉴定。
- 作出鉴定结论：根据专家组的鉴定意见，劳动能力鉴定委员会会作出鉴定结论，确定您的伤残等级。
四、主张赔偿
根据工伤认定和劳动能力鉴定结果，您可以要求用人单位承担工伤赔偿责任，包括但不限于医疗费、停工留薪期工资、伤残津贴等。如果用人单位拒绝赔偿，您可以通过劳动争议仲裁或诉讼等法律途径来维护自己的合法权益。
在整个过程中，我建议您积极收集和保留好相关证据，并咨询专业律师以获取法律建议和援助。这样能确保您的权益得到充分保护，并顺利办理工伤鉴定和主张赔偿。希望这些信息能对您有所帮助，如果您还有其他问题或需要进一步的帮助，请随时告诉我。