结论前置：履行行政处罚决定催告书的下达时间，通常是在行政处罚决定书送达当事人后，且当事人在规定的履行期限内（一般为15日）未履行义务，同时未提出行政复议或行政诉讼的情况下。执法机关随后会下达催告通知书，并给予当事人一定的催告期（通常为10日）以履行义务。
一、下达时间的一般规定
起始时间点：
- 行政处罚决定书作出并送达当事人后，当事人应在决定书规定的期限内（通常为15日）履行处罚义务，如缴纳罚款、停止违法行为等。
- 若当事人在该期限内未履行义务，且未提出行政复议或行政诉讼，则执法机关有权开始催告程序。
催告期限：
- 催告通知书送达当事人后，通常会给予当事人一个合理的催告期（一般为10日），以便其在此期间内履行义务。
- 若当事人在催告期内仍未履行义务，行政机关可依法进一步采取措施，包括申请强制执行。
二、特殊情况下的下达时间
延期或分期缴纳罚款：
- 如果当事人因经济困难确需延期或分期缴纳罚款，可以根据《中华人民共和国行政处罚法》第六十六条的规定提出申请。
- 此申请经行政机关批准后，罚款的缴纳期限可以暂缓或分期进行。在这种情况下，催告书的下达时间会相应顺延至延期或分期缴纳期限届满之后。
当事人提出异议：
- 如果当事人在收到行政处罚决定书后，提出了行政复议或行政诉讼，那么催告书的下达时间将会受到这些法律程序的影响，通常会在这些法律程序结束后，根据结果再决定是否下达催告书。
三、法律依据
- 《中华人民共和国行政强制法》第三十五条：明确规定行政机关在作出强制执行决定前，应当事先以书面形式催告当事人履行义务，并载明履行义务的期限、方式以及当事人享有的陈述权和申辩权。
- 《中华人民共和国行政强制法》第五十三条和第五十四条：进一步规定，当事人在法定期限内不申请行政复议或提起行政诉讼，又不履行行政决定的，行政机关可以在期限届满之日起三个月内申请人民法院强制执行。但在申请强制执行前，必须催告当事人履行义务，且催告书送达十日后当事人仍未履行义务的，方可申请强制执行。
四、实际操作与注意事项
- 在实践中，行政机关应严格按照法律规定的程序和时限进行催告，确保催告书的合法性和有效性。
- 当事人收到催告书后，应认真对待并积极履行义务，以避免可能的法律后果，如被申请强制执行等。
- 如果对催告书有异议或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律意见。
综上所述，履行行政处罚决定催告书的下达时间是一个涉及多个法律环节和因素的问题。在实际操作中，应严格遵守相关法律法规，确保程序的合法性和公正性。如果你有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。