建设单位私刻监理单位公章是违法的，且将面临多方面的法律后果。以下是对此问题的详细分析：
民事责任：
- 赔偿损失：若建设单位私刻监理单位公章并因此导致监理单位遭受经济损失，如因伪造公章签订的合同产生的责任、罚款等，建设单位需承担全部赔偿责任。这包括直接损失和间接损失，如赔偿金、律师费、诉讼费等。
- 消除影响、恢复名誉：私刻公章行为会损害监理单位的商业信誉和声誉。建设单位应采取措施消除不良影响，例如在相关行业媒体上公开道歉，声明私刻公章行为的无效性，以恢复监理单位的名誉。
行政责任：
- 治安管理处罚：根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第五十二条，伪造、变造或买卖企事业单位印章的，公安机关可对直接责任人员处以十日以上十五日以下拘留，并可并处一千元以下罚款；情节较轻的，处五日以上十日以下拘留，并可并处五百元以下罚款。
- 建设行业行政处罚：相关建设主管部门有权对建设单位进行行政处罚，这可能包括责令改正、警告、没收违法所得、降低资质等级，甚至吊销资质证书，以维护建设工程行业的规范和秩序。
刑事责任：
- 若私刻公章行为情节严重，根据《中华人民共和国刑法》第二百八十条第二款，可能构成伪造公司、企业、事业单位、人民团体印章罪。这将面临三年以下有期徒刑、拘役、管制或剥夺政治权利，并处罚金的刑事处罚。特别是当私刻公章多次使用、用于重大违法活动或造成严重后果时，更可能被认定为情节严重，从而受到严厉的刑事处罚。
综合影响与建议：
私刻监理单位公章不仅会导致法律制裁，还会对建设单位的商业信誉和声誉造成极大损害，影响其业务合作和市场竞争力。因此，建设单位务必严格遵守相关法律法规，杜绝私刻公章的违法行为。若建设单位在合同签订、工程管理等过程中需要使用监理单位公章，应通过合法途径获取，如要求监理单位提供加盖公章的正式文件或授权书等。
后续行动建议：
- 如果建设单位已经私刻了监理单位公章，应立即停止使用，并主动向监理单位和相关部门说明情况，承担相应责任。
- 若因私刻公章行为已经引发了法律纠纷或损失，建设单位应积极配合相关部门调查，并寻求专业法律帮助，以减轻法律后果和损失。
如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。