结论：债务人不可以私下变卖抵押品，抵押品的处置需遵循法定程序。
详细分析：
抵押权人的权利与债务人的限制：
- 根据相关法律规定，抵押权人在债务履行期限届满且未获清偿时，有权就抵押物优先受偿。但这并不意味着债务人可以随意处置抵押品。抵押品的处置，特别是变卖，必须遵循法定程序，以确保抵押权人的权益得到保障，同时维护交易的公平与正义。
- 债务人作为抵押人，在抵押期间对抵押物享有占有权，但并不享有随意处置权。未经抵押权人同意，债务人不得擅自变卖抵押物，否则可能构成违约或违法行为，需承担相应的法律责任。
抵押品处置的法定程序：
- 协商处置：抵押权人首先应与抵押人（债务人）进行友好协商，探讨以抵押物折价或者以拍卖、变卖抵押物所得价款来清偿债务的可能性。若双方达成协议，该协议内容应合法、有效，且不得损害其他债权人的利益。
- 依法起诉与拍卖：若抵押权人与抵押人无法就抵押物的处置达成一致，抵押权人有权向人民法院提起诉讼。法院在审理后，若认定债务确实存在且债权合法，会作出相应判决。判决生效后，债务人仍不履行还款义务时，抵押权人可申请法院强制执行，包括对抵押品的拍卖。拍卖过程需遵循法定程序，如发布拍卖公告、评估鉴定、公告拍卖信息、遵守竞价规则等。
债务人私下变卖抵押品的法律后果：
- 如果债务人未经抵押权人同意，擅自变卖抵押品，这可能构成违约行为，需要承担违约责任，如赔偿抵押权人因此遭受的损失。
- 在某些情况下，债务人的行为还可能构成犯罪，如诈骗罪或侵占罪等，需承担刑事责任。
建议：
- 债务人角度：如果你作为债务人面临还款困难，想要通过变卖抵押品来偿还债务，务必先与抵押权人进行协商，并遵循法定程序进行处置。切勿擅自变卖抵押品，以免引发不必要的法律纠纷和损失。
- 抵押权人角度：如果你作为抵押权人发现债务人擅自变卖抵押品，应及时采取措施维护自己的权益。你可以与债务人进行协商，要求其停止变卖行为并恢复原状；如果协商无果，你可以向人民法院提起诉讼，要求法院确认债务人的行为无效并赔偿你的损失。
示例：
假设甲向乙借款并以一辆汽车作为抵押。借款到期后，甲未能按时还款。此时，甲不能擅自将汽车变卖给第三人以偿还债务。正确的做法是甲应与乙进行协商，探讨以汽车折价或者以拍卖、变卖汽车所得价款来清偿债务的可能性。如果双方无法达成一致，乙可以向人民法院提起诉讼，要求法院对汽车进行拍卖以清偿债务。
总之，抵押品的处置需遵循法定程序，债务人不得擅自变卖抵押品。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。