结论：在房屋买卖合同被判无效且房屋已返还卖家后，若买家的私人抵押仍然存在，您可以通过与买家协商解除抵押、通过法律途径申请注销抵押登记或要求买家承担违约责任等方式来处理这一问题。

详细分析：

1. 与买家协商解除抵押：

   • 法律背景：根据《民法典》的相关规定，抵押权与其担保的债权同时存在，债权消灭的，抵押权也消灭。在房屋买卖合同无效的情况下，买家基于该合同所取得的债权（即要求卖家交付房屋并办理过户的权利）已经消灭，因此，买家所设立的抵押权也应当随之消灭。
   • 操作建议：您可以首先尝试与买家进行协商，说明房屋买卖合同无效的事实，以及抵押权随之消灭的法律后果，要求买家配合办理抵押权的注销登记手续。

2. 通过法律途径申请注销抵押登记：

   • 法律背景：如果买家拒绝配合办理抵押权的注销登记手续，您可以向法院提起诉讼，请求法院确认房屋买卖合同无效，并判决买家协助办理抵押权的注销登记手续。在获得法院的生效判决后，您可以凭该判决向不动产登记机构申请注销抵押登记。
   • 操作流程：
     • 准备起诉材料，包括起诉状、证据材料（如房屋买卖合同、法院判决合同无效的文书等）；
     • 向有管辖权的法院提起诉讼；
     • 参加庭审，陈述事实和理由，提供证据；
     • 等待法院判决，并执行判决内容。

3. 要求买家承担违约责任：

   • 法律背景：如果买家在房屋买卖合同无效后，仍然拒绝解除抵押，导致您遭受损失（如无法再次出售房屋、需要承担额外的税费等），您可以要求买家承担违约责任，赔偿您的损失。
   • 操作建议：在协商或诉讼过程中，您可以明确提出要求买家赔偿因拒绝解除抵押而给您造成的损失，包括直接损失和间接损失。如果买家拒绝赔偿，您可以在诉讼中一并提出赔偿请求。

额外建议：

• 保留证据：在整个处理过程中，务必保留好所有与房屋买卖合同、抵押登记相关的证据材料，以便在需要时提供证明。
• 咨询专业意见：由于房产纠纷涉及的法律问题较为复杂，如果您在处理过程中遇到任何疑问或困难，建议及时向我咨询，以便获得更专业的法律意见和帮助。

可能后果：

• 如果买家配合解除抵押，则问题得到圆满解决，您无需承担额外损失。
• 如果买家拒绝配合，您可能需要通过法律途径来解决问题，这可能会耗费一定的时间和精力，并可能产生一定的诉讼费用。但最终，如果法院判决买家协助办理抵押权的注销登记手续，您仍然可以解决问题。
• 如果买家拒绝赔偿您的损失，您可以在诉讼中一并提出赔偿请求，并等待法院的判决和执行。