结论：在涉嫌假冒注册商标罪被抓到看守所的情况下，律师是可以会见犯罪嫌疑人的。这是犯罪嫌疑人依法享有的一项重要权利，也是律师为其提供法律帮助和辩护的重要途径。

详细分析：

1. 律师会见的法律依据：

   • 根据我国《刑事诉讼法》的相关规定，犯罪嫌疑人自被侦查机关第一次讯问或者采取强制措施之日起，有权委托辩护人；在侦查期间，只能委托律师作为辩护人。辩护律师有权同在押的犯罪嫌疑人、被告人会见和通信。
   • 这意味着，在涉嫌假冒注册商标罪被抓到看守所后，犯罪嫌疑人或其家属有权尽快委托律师，律师也有权到看守所会见犯罪嫌疑人，了解案件情况，为其提供法律帮助。

2. 律师会见的作用：

   • 了解案情：律师通过会见犯罪嫌疑人，可以全面了解案件的具体情况，包括涉案产品的来源、销售情况、是否知情等，为后续的辩护工作打下基础。
   • 提供法律帮助：律师可以为犯罪嫌疑人解释相关法律规定，告知其依法享有的权利，如沉默权、申请取保候审等，并指导其如何正确行使这些权利。
   • 心理支持：面对刑事指控，犯罪嫌疑人往往会产生焦虑、恐惧等负面情绪。律师的会见可以为其提供心理支持，缓解其心理压力，帮助其保持冷静和理智。
   • 维护合法权益：律师在会见过程中，可以及时发现并纠正侦查机关可能存在的违法行为，如非法取证、超期羁押等，从而维护犯罪嫌疑人的合法权益。

3. 律师会见的流程：

   • 委托律师：犯罪嫌疑人或其家属应尽快委托一位有专业经验的刑事辩护律师。
   • 提交委托手续：律师需要向看守所提交委托手续，包括律师执业证、委托书等，以证明其身份和委托关系。
   • 安排会见：看守所在收到委托手续后，会安排律师与犯罪嫌疑人进行会见。会见时间、地点等具体安排会由看守所通知律师。
   • 进行会见：律师在会见过程中，会与犯罪嫌疑人进行充分沟通，了解案件情况，为其提供法律帮助和心理支持。

4. 注意事项：

   • 及时委托律师：由于刑事案件的侦查、审查起诉和审判阶段都有严格的时间限制，因此犯罪嫌疑人或其家属应尽快委托律师，以便律师能够及时介入案件，为犯罪嫌疑人提供法律帮助。
   • 选择专业律师：在选择律师时，应考察其专业经验、口碑及成功案例，确保获得有效的法律援助。特别是对于涉嫌假冒注册商标罪这样的知识产权犯罪案件，选择一位有相关经验的律师尤为重要。
   • 配合律师工作：犯罪嫌疑人在会见过程中应如实陈述案件事实，不隐瞒或歪曲真相。同时，也应积极配合律师的工作，如提供相关证据材料、签署法律文书等。

建议与后果：

• 建议：如果涉嫌假冒注册商标罪被抓到看守所，建议尽快委托一位有专业经验的刑事辩护律师。律师的及时介入可以为犯罪嫌疑人提供法律帮助和心理支持，有助于维护其合法权益并争取有利的处理结果。
• 可能后果：如果未能及时委托律师或未能与律师充分配合，可能会导致犯罪嫌疑人在侦查阶段无法充分行使自己的权利，如沉默权、申请取保候审等。这可能会对其后续的辩护工作产生不利影响，甚至可能导致不利的判决结果。

综上所述，律师在涉嫌假冒注册商标罪被抓到看守所的情况下是可以会见犯罪嫌疑人的。这是犯罪嫌疑人依法享有的一项重要权利，也是律师为其提供法律帮助和辩护的重要途径。因此，建议尽快委托一位有专业经验的刑事辩护律师，并积极配合其工作。