在行政不作为案件中，要成功证明行政机关未履行其法定职责，原告需系统地收集和提交一系列关键证据。以下是从多个角度对所需证据的综合整理和详细阐述：

1. 申请或请求相关的证据

   • 申请材料：原告需提交书面申请、电子邮件、信函等，明确记录申请的时间、方式、具体事项、理由及期望行政机关作出的行为。这些材料应直接证明原告已向行政机关提出了合法且属于其职责范围内的申请。例如，若公民向环保部门提交污染投诉信，需明确投诉日期和具体环境问题。
   • 提交申请的记录：包括邮寄单据、电子政务平台提交截图等，以证实申请已按法定程序和途径送达行政机关。例如，EMS寄送凭证显示某公司于2023年5月10日向工商局寄出设立登记申请，且已被签收。

2. 行政机关受理或知晓的证据

   • 受理凭证：如受理通知书、回执等，是直接证明行政机关知晓申请事项的证据。
   • 其他知晓证据：签收记录、谈话笔录、证人证言等，均可作为辅助证据，表明行政机关已收到并了解申请内容。例如，邻居证实曾陪同当事人到街道办提交低保申请，并目睹工作人员收下材料但未开具收据。

3. 履行期限届满的证据

   • 法定履行期限规定：引用相关法律法规、规章或规范性文件，明确指出行政机关履行该职责的具体期限。例如，某审批事项的法定办理期限为20日。
   • 时间计算证据：根据申请提交时间和法定履行期限，计算出行政机关应作出行为的截止日期，并通过日历、时间戳等方式加以证明。若自5月10日申请至6月10日仍未答复，则构成超期。

4. 行政机关未履行职责的证据

   • 无回应证据：如未收到任何答复、通知，或没有电话、短信等形式的反馈，证明行政机关在履行期限届满后未作出任何决定。例如，登录住建局官网查询“建设项目审批进度”，显示“暂无相关信息”。
   • 消极态度证据：谈话录音、聊天记录等，证明行政机关对申请采取消极态度、故意拖延或推诿。例如，多次拨打12345热线催促处理，但始终得到“正在办理中”的模糊答复。

5. 造成损害后果的证据（如有）

   • 实际损失证据：财务报表、合同违约赔偿记录等，证明因行政不作为导致的实际经济损失。
   • 因果关系证据：通过专家意见、行业惯例、逻辑分析等，说明损害后果与行政机关的不作为之间存在直接因果关系。例如，因环保部门未及时处理污染投诉，导致企业停产损失。

6. 法律依据

   • 原告需提供明确的法律依据，证明行政机关具有处理其申请的法定职责，以及未在规定时间内作出处理违反了哪些法律规定。这是支持原告主张的关键法律基础。例如，引用《中华人民共和国行政许可法》第三十二条关于行政机关受理行政许可申请的规定。

举证责任说明：

• 根据《中华人民共和国行政诉讼法》第三十八条，在起诉被告不履行法定职责的案件中，原告应当提供其向被告提出申请的证据。但被告应当依职权主动履行法定职责的，或原告因正当理由不能提供证据的除外。
• 被告行政机关则需承担证明其行政不作为行为合法性的举证责任，包括提供处理过程记录、决定文件、相关法律法规等。

建议与后果：

• 原告在收集证据时，应确保证据的合法性和有效性，避免使用非法手段获取证据。
• 若证据不足或存在瑕疵，可能导致法院无法支持原告的主张，因此原告应尽可能全面、系统地收集和整理证据。
• 若行政机关被证实存在行政不作为，可能面临法院判决其履行法定职责、赔偿损失等法律后果。

综上所述，行政不作为案件的原告需全面、系统地收集和整理上述各类证据，以确保其主张得到法院的支持。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。