结论：在医疗事故纠纷发生后，当事人若已选择向法院提起诉讼，则不能再同时向卫生行政部门（如卫健委）提出处理申请；反之，若已向卫生行政部门提出申请并得到受理，随后又向法院提起诉讼且法院受理后，卫生行政部门将终止处理。
详细分析：
法律依据与受理原则：
- 根据《医疗事故处理条例》第四十条的明确规定，当事人不能同时向卫生行政部门和法院提出医疗事故争议的处理请求。这一规定旨在避免处理程序的重复和冲突，确保医疗事故纠纷能够得到高效、有序的处理。一旦选择其中一种途径，另一种途径将不再受理或需终止处理。
处理方式与侧重点差异：
- 法院处理医疗事故纠纷主要依据法律规定和证据，通过司法审判程序来确定责任和赔偿等问题。法院的判决具有法律强制力，能够直接对当事人的权益产生影响。
- 卫生行政部门则侧重于对医疗机构的行政管理和监督。在处理医疗事故纠纷时，卫生行政部门可能作出行政处理决定，如行政处罚等，但其处理更多体现的是行政管理职能，而非司法裁判。
实际操作建议：
- 选择向法院提起诉讼：如果当事人希望通过法律途径明确责任和获得赔偿，应选择向法院提起诉讼。在诉讼过程中，当事人需要提交充分的证据来支持自己的主张，并遵循法院的诉讼程序和时间安排。
- 选择向卫生行政部门提出申请：如果当事人希望快速得到处理结果或希望通过行政手段对医疗机构进行监管，可以选择向卫生行政部门提出申请。在提出申请前，当事人应了解相关法律规定和程序要求，并准备好相关证据材料。但需注意，一旦选择向卫生行政部门提出申请并得到受理，后续若再向法院提起诉讼且法院受理后，卫生行政部门将终止处理。
特殊情况处理：
- 如果当事人对卫生行政部门的处理结果不满意，或者认为卫生行政部门未依法履行职责，仍然可以选择向法院提起诉讼。但此时，当事人需要确保诉讼的时效性，并在诉讼过程中充分阐述自己的主张和理由。
总结与建议：
在处理医疗事故纠纷时，当事人应明确自己的选择，并了解不同处理方式的相关规定和程序。一旦选择了一种处理方式，就应遵循该方式的程序和规定，不得同时向另一部门提出处理请求。如果对处理结果不满意或认为处理过程中存在违法行为，当事人可以通过合法途径进行申诉或提起诉讼。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。