在未续签劳动合同的情况下，劳动者能否随时辞职取决于具体情况及用人单位的过错程度。以下是对此问题的详细分析：
用人单位存在过错且符合法定情形：
- 当劳动合同到期后，若劳动者继续在用人单位工作，而用人单位超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，这构成了对《劳动合同法》的违反。
- 根据《劳动合同法》第三十八条，若用人单位存在违反法律、法规规定，损害劳动者权益的行为（如未及时续签劳动合同），劳动者可以解除劳动合同。此时，劳动者不仅有权随时通知用人单位解除劳动合同，还可以要求用人单位支付经济补偿。经济补偿的计算方式为：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 举例：假设小李在某公司工作3年，合同到期后公司未续签，但小李继续在公司工作。若超过一个月公司仍未与小李续签合同，小李有权随时通知公司解除劳动合同，并要求公司支付3个月工资作为经济补偿。
未满足法定解除条件：
- 若未续签劳动合同的时间未超过一个月，由于仍在法律规定的合理签订期限内，劳动者不能以未续签合同为由随时辞职。
- 在这种情况下，劳动者需遵循《劳动合同法》第三十七条的规定，即提前三十日以书面形式通知用人单位，方可解除劳动合同。若在试用期内，则需提前三日通知。
- 举例：假设小张在某公司工作，合同到期后公司未立即续签，但小张决定继续工作。若未超过一个月公司仍未与小张续签合同，小张不能随时辞职，而需提前三十日书面通知公司后才能离职。
注意事项与建议：
- 保留证据：在以未续签劳动合同为由解除劳动合同时，劳动者应妥善保留相关证据，如工作证、工资发放记录、考勤记录等，以证明自己与用人单位存在事实劳动关系以及未续签合同的情况。这些证据在后续可能出现的劳动纠纷中将起到关键作用。
- 与公司沟通：尽管法律规定了劳动者的权利，但在实际操作中，与公司保持良好的沟通仍然至关重要。通过友好协商，双方可以更加明确彼此的权利和义务，避免不必要的误解和冲突。
可能的法律后果：
- 若劳动者在未满足法定解除条件的情况下擅自离职，可能构成违法解除劳动合同，需要承担相应的法律责任，如赔偿用人单位因此遭受的损失。
- 若用人单位存在过错且符合法定情形，劳动者未依法行使解除权并要求经济补偿，可能丧失获得经济补偿的机会。
综上所述，未续签劳动合同时劳动者能否随时辞职取决于具体情况和用人单位的过错程度。在任何情况下，劳动者都应了解自己的权利并依法行事，同时注重与公司保持沟通，以确保自己的合法权益得到妥善维护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。