结论前置：员工重病且合同到期时，公司是否续签以及是否有补偿，主要取决于员工是否处于医疗期内以及医疗期届满后的劳动能力状况。以下是具体分析：
一、医疗期内合同到期的情况
法律规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条，劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的，用人单位不得解除劳动合同。同时，第四十五条规定，劳动合同期满，若劳动者仍处于医疗期，劳动合同应当续延至医疗期结束时终止。
具体分析：
- 若员工仍在医疗期内且合同到期，公司不续签是违法的。员工有权要求公司继续履行劳动合同；若员工不要求继续履行或合同已无法继续履行，公司应按经济补偿标准的两倍支付赔偿金。
- 经济补偿的计算方式：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。这里的“月工资”指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
- 赔偿金的计算方式：为经济补偿标准的两倍。
二、医疗期届满后合同到期的情况
法律规定：
- 《中华人民共和国劳动合同法》第四十四条规定，劳动合同期满即终止。同时，第四十六条指出，除非用人单位维持或提高劳动合同约定条件而劳动者不同意续订，否则用人单位应向劳动者支付经济补偿。
具体分析：
- 医疗期届满后，若员工能够正常工作但公司决定不续签合同，公司应支付经济补偿，标准同上。
- 若经鉴定员工不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，公司在提前三十日以书面形式通知员工或额外支付一个月工资后，可以解除劳动合同，但仍需支付经济补偿。
三、特殊情况
- 若用人单位提出维持或提高劳动合同约定条件续订劳动合同，而劳动者不同意续订，则用人单位无需支付经济补偿。因为在此情况下，公司已尽到提供合理条件的义务，是劳动者自身选择不续签。
四、维权建议
收集证据：
- 劳动合同、医疗诊断证明、医疗期相关证明（如病假条）、工资条及考勤记录、公司不续签通知等。这些证据将用于证明劳动关系、患病事实、医疗期时长以及公司的违法行为。
与公司协商：
- 主动与公司人力资源部门或相关负责人沟通，要求续签合同至医疗期结束或协商赔偿事宜。记录协商过程，形成书面记录，明确双方观点和进展。
申请劳动仲裁或提起诉讼：
- 如协商不成，员工可在一年内（具体根据当地规定）向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，或向人民法院提起诉讼，以维护自己的合法权益。
总结与建议：员工在面对此类问题时，应首先了解自己的医疗期情况，并收集相关证据。若公司违法不续签合同，员工有权要求经济补偿或赔偿金，并通过协商、劳动仲裁或诉讼等途径来维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。