结论：在伤害案件中，若公安机关存在不作为或案件已过追溯时效但被检察机关认定的情况，一般不能直接起诉公安机关要求赔偿，但可通过申请国家赔偿等途径寻求救济。以下从不同角度进行详细分析：
一、公安机关不作为与起诉赔偿的关系
公安机关的职责：
- 公安机关在刑事案件中负责立案、侦查、采取强制措施等职责。若公安机关未依法履行这些职责，即构成不作为。
起诉公安机关赔偿的条件：
- 通常情况下，公民不能直接起诉公安机关要求赔偿因不作为造成的损失。因为公安机关的执法行为属于行政行为，其不作为可能构成行政违法，但赔偿请求通常需要通过行政复议或行政诉讼中的附带赔偿请求来提出。
- 在刑事案件中，若公安机关的不作为导致犯罪嫌疑人逃脱法律制裁或案件无法侦破，受害人通常需要通过刑事附带民事诉讼或单独提起民事诉讼来寻求赔偿，但被告通常是犯罪嫌疑人或相关责任人，而非公安机关。
特殊情况：
- 如果公安机关的不作为行为被确认违法，且该行为与受害人的损害之间存在直接因果关系，受害人可以依据《中华人民共和国国家赔偿法》的规定，向公安机关提出国家赔偿申请。
二、追溯时效与起诉赔偿的关系
追溯时效的定义：
- 追溯时效是指法律规定的对犯罪行为进行追诉的有效期限。超过该期限，犯罪行为将不再被追诉。
检察机关认定追溯时效已过的影响：
- 若检察机关认定案件已过追溯时效，将不再对犯罪嫌疑人提起公诉。这意味着犯罪嫌疑人将不会因该犯罪行为受到刑事处罚。
对起诉赔偿的影响：
- 追溯时效的经过并不影响受害人通过民事诉讼途径寻求赔偿。受害人仍然可以依据《中华人民共和国民法典》等相关法律规定，向犯罪嫌疑人或相关责任人提起民事诉讼，要求赔偿因犯罪行为造成的损失。
- 但同样地，这并不意味着可以直接起诉公安机关要求赔偿。除非公安机关的不作为行为被确认违法，并与受害人的损害之间存在直接因果关系。
三、申请国家赔偿的途径
国家赔偿的定义：
- 国家赔偿是指国家机关及其工作人员因行使职权给公民、法人及其他组织的人身权或财产权造成损害，依法应给予的赔偿。
申请国家赔偿的条件：
- 公安机关的不作为行为必须被确认违法。
- 该违法行为必须与受害人的损害之间存在直接因果关系。
- 受害人必须在法定期限内提出国家赔偿申请。
申请国家赔偿的程序：
- 受害人应先向公安机关提出赔偿请求，公安机关应在规定期限内作出是否赔偿的决定。
- 若公安机关决定不予赔偿或受害人对赔偿数额有异议，受害人可以向其上一级公安机关申请复议。
- 若复议结果仍不能满足受害人的要求，受害人可以向人民法院赔偿委员会申请作出赔偿决定。
建议：若您认为公安机关存在不作为行为或案件已过追溯时效但给您造成了损害，建议您先收集相关证据材料，然后咨询专业律师（即我本人，张鑫律师，专注于刑事辩护、取保候审领域）以了解具体的法律途径和救济方式。同时，您也可以考虑向公安机关提出国家赔偿申请，但需注意申请的条件和程序。