当合同工（这里我们主要理解为劳动合同中的员工）的合同到期时，处理方式主要依据双方的意愿、合同的具体约定以及相关法律法规来进行。以下是对这一问题的详细解答：
一、劳动合同到期的基本处理原则
协商续签：
- 劳动合同到期后，首要的处理方式是双方就续签事宜进行协商。如果双方都愿意继续合作，那么应重新签订一份新的劳动合同，明确新的合同期限、工作内容、工作地点、劳动报酬等关键条款。
- 续签的条件可以由双方协商确定，但通常不得低于原劳动合同约定的条件，除非劳动者本人同意降低待遇。
终止劳动关系：
- 如果双方未能就续签达成一致，或者任何一方明确表示不续签，那么劳动合同到期即行终止。
- 在这种情况下，用人单位需要按照法律规定向劳动者支付相应的经济补偿（如果适用的话）。
二、不同情形下的具体处理方式
用人单位提出不续签：
- 用人单位在劳动合同期满前，应提前通知劳动者是否续签。如果决定不续签，需依法向劳动者支付经济补偿金。
- 经济补偿金的计算标准通常依据劳动者在本单位的工作年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
劳动者提出不续签：
- 如果劳动者主动提出不续签劳动合同，且不存在用人单位违法用工等情形的，用人单位通常无需支付经济补偿金。
- 但如果用人单位存在未及时足额支付劳动报酬、未依法为劳动者缴纳社会保险费等违法行为，劳动者有权解除劳动合同并要求经济补偿。
特殊情形下的续签要求：
- 根据《劳动合同法》的规定，连续订立二次固定期限劳动合同后，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
- 对于符合签订无固定期限劳动合同条件的劳动者，用人单位应与其签订无固定期限劳动合同，否则可能面临法律纠纷。
三、合同到期后的后续事项处理
及时办理离职或入职手续：
- 无论双方是否续签劳动合同，都应及时办理离职或入职手续，包括工作交接、薪资结算、社保转移等。
保留相关证据：
- 劳动者应妥善保管与用人单位签订的劳动合同、工资单、考勤记录等证据材料，以备不时之需。这些证据在维护自身权益时可能起到关键作用。
了解并遵守法律法规：
- 劳动者和用人单位都应熟悉《劳动合同法》等相关法律法规的规定，确保在处理合同到期事宜时遵守法律，维护自身权益不受侵害。
四、争议解决途径
如果在合同到期后的处理过程中，双方就合同的终止、续签、后续事项处理等方面产生争议且无法协商解决时，可以通过以下途径寻求法律救济：
- 申请仲裁：如果合同中设有仲裁条款且双方同意通过仲裁方式解决争议，则可向约定的仲裁委员会提起仲裁申请。
- 提起诉讼：在无仲裁条款或双方不同意仲裁的情况下，可向有管辖权的人民法院提起诉讼以维护自身权益。
综上所述，合同工到期后的处理方式需根据具体情况灵活选择，并确保在处理过程中严格遵守相关法律法规和合同约定，以维护双方的合法权益和市场的正常秩序。