自首当天能否回家需根据具体案情判断，无法一概而论，但可明确的是：自首本身不直接决定能否当天回家，是否取保候审或释放需结合案件情节、社会危险性等因素综合评估。以下是具体分析：

一、自首的法律意义与程序衔接

自首是法定从宽情节（《刑法》第六十七条），指犯罪嫌疑人主动投案并如实供述罪行。但自首仅影响量刑，不直接决定强制措施（如拘留、取保候审）的适用。自首后，公安机关会依法开展侦查，包括核实自首真实性、调查犯罪事实、评估社会危险性等，这一过程可能需要一定时间，因此“当天回家”并非自首的必然结果。

二、能否当天回家的关键因素

1. 案件情节轻重
   若虚开发票金额较小、情节轻微（如初犯、偶犯、未造成严重后果），且自首后认罪态度好，公安机关可能根据《刑事诉讼法》第六十七条，认为“采取取保候审不致发生社会危险性”，从而批准取保候审，允许嫌疑人回家并随传随到。
   反之，若金额巨大、涉及团伙作案、曾有同类前科等，公安机关可能认为社会危险性较高，需继续羁押侦查，此时无法当天回家。

2. 证据固定需求
   虚开发票罪的侦查需调取发票、资金流水、合同等证据。若案件证据复杂（如涉及跨地区作案、多笔交易），公安机关可能需要留置嫌疑人协助调查（如核对账目、指认现场），此时可能无法当天释放。

3. 程序性要求
   自首后，公安机关需依法完成以下程序：

   • 制作《询问笔录》固定自首情节；
     
   • 查验身份、核实犯罪事实；
     
   • 决定是否立案（《刑事诉讼法》第一百一十二条）；
     
   • 对符合条件的嫌疑人办理取保候审或拘留手续。
     若程序进展顺利且符合取保条件，可能当天释放；若需进一步调查或审批，则需等待。

三、实务建议

1. 主动配合调查
   自首后应如实供述全部犯罪事实，避免隐瞒或翻供，以降低社会危险性评估结果，增加取保概率。

2. 及时委托律师介入
   律师可在自首后第一时间会见嫌疑人，向公安机关了解案情，提交《取保候审申请书》，从专业角度论证“无社会危险性”，推动尽快释放。

3. 关注案件进展
   若未当天回家，可要求公安机关出具《拘留通知书》（若被拘留）或《取保候审决定书》（若被取保），明确后续程序及权利义务。

总结：虚开发票罪自首后能否当天回家，需结合案件情节、证据情况、程序进展综合判断。建议自首时主动配合调查，并尽快委托律师介入，以最大限度维护合法权益。如有具体案情，可进一步向我咨询，我会结合细节为您分析。