关于事业单位法人私章是否需要备案的问题，这主要取决于具体的地区和相关的管理规定。不过，我可以根据一些通用的管理原则和部分地区的具体规定，给您一个较为全面的解答。
首先，我们需要明确的是，事业单位的印章管理通常都受到较为严格的监管，这是为了保障事业单位的合法权益，维护经济社会秩序。因此，无论是单位的全名公章、专用公章，还是内设机构公章，甚至是法定代表人的名章，其刻制、使用和管理都需要遵循一定的规定。
针对您提出的事业单位法人私章（即法定代表人名章）是否需要备案的问题，在多数情况下，这类印章也是需要备案的。以山东省和天津市的规定为例：
山东省：根据《山东省事业单位印章管理办法》的相关规定，事业单位刻制印章（包括法定代表人名章）后，需要持相关材料到所在地公安机关许可的公章刻制企业刻制，并由公章刻制企业将相关信息报送公安机关备案。此外，事业单位在领取新的《事业单位法人证书》或办理法定代表人变更登记后，也需要在规定时间内将新刻制的法定代表人名章的印迹报监督管理机构备案。
天津市：虽然《天津市事业单位印章管理规定》中并未直接提及法定代表人名章的备案问题，但根据该规定对事业单位印章管理的全面性和严格性，以及参照其他地区的类似规定，可以合理推断，在天津市，事业单位法人私章（法定代表人名章）同样需要遵循相应的备案程序。
备案的意义：
备案的主要目的是为了确保印章的合法性和安全性，防止印章被滥用或盗用。通过备案，相关管理部门可以掌握印章的刻制、使用和管理情况，从而在必要时进行监管和干预。
建议：
咨询当地管理部门：由于不同地区的具体规定可能存在差异，因此建议您直接咨询当地的事业单位登记管理机关或公安机关，以获取最准确的信息。
遵循规定程序：如果确认需要备案，那么请务必按照规定的程序和要求进行备案，以确保印章的合法性和有效性。
加强印章管理：无论是否需要备案，事业单位都应该加强对印章的管理，确保印章的安全和正确使用。
综上所述，事业单位法人私章（法定代表人名章）在多数情况下是需要备案的。为了确保合规性和安全性，建议您咨询当地管理部门并遵循相关规定程序进行备案。