关于法定代表人私章是否需要备案的问题，这主要取决于当地的法律法规和具体规定。不过，我可以根据一些常见情况和具体地区的实践来给您一个较为全面的解答。
首先，需要明确的是，法定代表人私章的备案并非全国统一强制要求。不同地区、不同行业甚至不同情况下，对于私章的备案要求可能存在差异。
以深圳市为例，根据深圳市公安局的回复，分公司负责人的名章（即自然人私章）刻制并没有强制要求备案。但如果分公司负责人希望进行备案，需要提供法人身份证原件、经办人身份证原件、营业执照原件、公章、刻制法人名章的申请书以及授权委托书等材料。
而在佛山市南海区，情况则有所不同。法人姓名印章（也可称为法人私章）是要求到佛山市内有资质的刻章店办理备案的。备案时需要准备的材料包括营业执照副本原件、法人的身份证原件、单位申请书（需写清楚刻章原因并加盖公司公章），以及如法人不能亲自办理时还需提供的代办人身份证原件。
针对您的情况，我建议您采取以下步骤：
了解当地规定：首先，您需要了解您所在地区对于法定代表人私章备案的具体规定。这可以通过咨询当地公安局、工商局或相关刻章店来获取。
准备备案材料：如果当地规定要求备案，您需要按照要求准备相应的材料。这些材料可能包括法人身份证、营业执照、公章、申请书等。
选择刻章店：选择一家有资质的刻章店进行私章的刻制和备案。您可以通过查询当地工商网站或相关刻章企业名单来找到符合资质的刻章店。
办理备案手续：携带准备好的材料到选定的刻章店办理备案手续。根据当地规定，备案可能需要一定的时间来处理。
查询备案情况：备案完成后，您可以通过相关渠道（如当地工商网站或刻章店提供的查询方式）查询您的私章是否已成功备案。
另外，需要注意的是：
如果您已经刻制了没有备案的私章，并且希望进行备案，根据某些地区的规定（如深圳市），您可能需要重新刻制并备案，而不能直接使用原私章办理备案。
备案过程中可能会涉及一定的费用，这些费用通常由刻章店自行定价，并可能因地区、材料等因素而有所不同。
综上所述，法定代表人私章是否需要备案取决于当地的具体规定。为了确保您的私章合法有效并避免潜在的法律风险，我建议您按照当地规定进行备案。如果您有任何疑问或需要进一步的帮助，请随时咨询当地公安局、工商局或相关刻章店。