再审刑事判决书的首部第一项应当写作出判决的法院名称。具体分析如下：

1. 法律依据与文书规范
   根据《中华人民共和国刑事诉讼法》及相关司法解释，判决书首部需明确载明制作文书的司法机关全称。再审程序作为对原生效裁判的特殊救济程序，其判决书仍由审理再审案件的法院制作，因此首部第一项必须写明该法院名称（如“XX省高级人民法院”）。

2. 与原审判决书的区别
   原审（一审/二审）判决书的首部第一项同样写法院名称，但再审判决书的特殊性在于：

   • 若再审法院与原审法院级别不同（如原审为中院，再审为高院），需体现再审法院的更高审级；
     
   • 若再审法院通过提审或指令再审改变管辖，需写明实际审理法院名称，而非原审法院名称。

3. 实务示例
   例如，某省高级人民法院对一起中院二审生效案件提审后作出的再审判决书，首部第一项应写为：
   “XX省高级人民法院”
   而非原审法院“XX市中级人民法院”或下级法院名称。

总结：再审刑事判决书首部第一项的核心功能是明确文书制作主体，必须准确填写实际审理再审案件的法院全称，以体现司法程序的合法性与权威性。如有其他文书格式疑问，可进一步向我咨询。