当办案警察遭遇恐吓威胁时，他们可以依法采取一系列措施来维护自身权益和执法权威，同时违法者也将面临相应的法律责任。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
一、法律依据及违法者的法律责任
《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十二条：
- 对于写恐吓信或以其他方法威胁他人人身安全的行为，包括威胁办案警察，将处五日以下拘留或五百元以下罚款；情节较重的，处五日以上十日以下拘留，并可并处五百元以下罚款。
《中华人民共和国刑法》相关条款：
- 妨害公务罪（第二百七十七条）：以暴力、威胁方法阻碍民警依法执行职务的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或罚金。若暴力袭击正在执法的民警，则从重处罚。特别地，若使用枪支、管制刀具或驾驶机动车撞击等手段，对民警构成严重威胁的，可处三年以上七年以下有期徒刑。
- 寻衅滋事罪（第二百九十三条）：若恐吓行为构成犯罪，如多次发送恐吓信息、持凶器威胁或严重影响民警工作、生活，可能触犯此罪名，面临五年以下有期徒刑、拘役或者管制等刑事处罚。
《中华人民共和国人民警察法》第三十五条：
- 拒绝或者阻碍人民警察依法执行职务，以暴力、威胁方法实施的，构成犯罪的，依法追究刑事责任。
二、公安机关的应对措施
及时受理与调查：
- 公安机关在接到关于恐吓威胁办案警察的报案后，会立即受理并展开调查，收集相关证据，包括短信记录、微信聊天记录、电话录音、视频监控等。
威胁评估与处理：
- 根据收集到的证据和信息，公安机关会对威胁的严重程度进行评估。对于情节较轻的，可能对行为人进行批评教育；对于构成违反治安管理行为的，将依法给予治安管理处罚；对于构成刑事犯罪的，将立即立案侦查，并依法追究犯罪嫌疑人的刑事责任。
提供安全保护：
- 若办案警察仍感到人身安全受到持续威胁，公安机关会根据具体情况采取一系列保护措施，如提供安全建议、加强巡逻防控力度等，以确保其人身安全不受侵害。
三、办案警察的应对建议
保持冷静与及时汇报：
- 办案警察在遭遇恐吓时，应首先保持冷静，立即向上级领导汇报情况，并请求支援。
记录证据：
- 在执法过程中，办案警察应使用执法记录仪等设备记录相关情况，作为后续处理的证据。这有助于追究违法者的法律责任，也能保护自身的合法权益。
请求协助：
- 在必要时，办案警察可以请求公安机关其他部门或警种的协助，以确保自身安全和案件顺利办理。
总结与建议：
办案警察在遭遇恐吓威胁时，应依据相关法律法规和公安机关内部规定，积极维护自身权益和执法权威。同时，通过采取必要的防范措施和应对策略，如保持冷静、记录证据、请求协助等，确保自身安全和案件的顺利办理。若您或您身边的办案警察遭遇了此类情况，建议立即报警并积极配合警方的调查工作，以便依法追究威胁者的法律责任。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。