结论：寻衅滋事被判缓刑10个月，是会留下案底的，因为这属于刑事处罚的范畴。

详细分析：

1. 缓刑的性质：

   • 缓刑是刑事处罚的一种执行方式，它并不意味着犯罪行为的消失或不被记录。当一个人被判缓刑时，实际上是他已经被法院认定有罪，只是由于某些条件（如犯罪情节较轻、有悔罪表现等）而暂时不执行刑罚，给予一定的考验期。

2. 案底的定义：

   • 案底，通常指的是刑事犯罪记录，即一个人因犯罪行为被法院判定有罪后，在司法机关留下的记录。这种记录是永久性的，不会因为时间的推移或缓刑的执行而消除。

3. 缓刑与案底的关系：

   • 既然缓刑是刑事处罚的一种执行方式，那么被判缓刑就意味着有刑事犯罪记录，即会留下案底。这个案底会在司法机关的档案中永久保存，并可能对个人的未来产生一定影响，如影响就业、出国等。

4. 实际影响与建议：

   • 实际影响：留下案底后，个人在未来的某些方面可能会受到限制或影响。例如，一些单位在招聘时可能会要求应聘者提供无犯罪记录证明，而有案底的人则无法提供这样的证明。此外，案底还可能影响个人的信用评级、贷款申请等。
   • 建议：首先，要认识到缓刑也是刑事处罚的一种，不要因为缓刑的执行而掉以轻心。其次，要积极遵守缓刑期间的各项规定，如定期报到、接受社区矫正等，以表现自己的悔罪态度。最后，如果未来因为案底而遇到困难或问题，可以寻求专业律师的帮助，了解自己的权利和义务，并寻求合法的解决方案。

总结：寻衅滋事被判缓刑10个月是会留下案底的，因为这属于刑事处罚的范畴。个人应该认识到缓刑的严肃性，积极遵守相关规定，并在未来遇到问题时寻求专业律师的帮助。如果你有任何关于刑事案件的法律问题，都可以直接向我咨询。