结论前置：
- 信用卡逾期三千元，银行在法律上有权起诉，但实际被起诉的概率相对较低。
- 是否被起诉取决于多种因素，包括逾期时间、持卡人还款态度、银行内部政策等。
法律分析：
银行的起诉权利：
- 根据《中华人民共和国民法典》及相关法律法规，持卡人未按照与银行签订的信用卡领用合同约定按时还款，构成违约。银行作为债权人，有权通过法律途径追讨欠款，无论逾期金额大小。因此，即使逾期金额仅为三千元，银行在法律上仍具备起诉的权利。
实际起诉情况：
- 银行在决定是否起诉时，会综合考虑成本效益。起诉需要投入人力、物力和时间成本，对于较小的逾期金额（如三千元），银行通常会优先考虑其他催收方式，如电话、短信提醒、委托第三方催收机构等。
- 如果持卡人逾期时间短，且银行能够通过非诉讼方式有效催收，那么被起诉的风险较低。银行更倾向于通过协商、催收等方式解决问题，以维护良好的客户关系。
增加起诉可能性的情况：
- 长期拖欠不还：如果持卡人逾期时间长，且经过银行多次有效催收后仍拒不还款，甚至故意躲避催收，这种情况下银行可能会选择起诉来解决问题。
- 恶意透支嫌疑：如果银行认为持卡人以非法占有为目的进行恶意透支，如在明知无还款能力的情况下大量透支信用卡额度，并逾期不还款，即使欠款金额较小，银行也可能采取法律手段维护自身权益。
- 银行内部政策：不同银行对逾期的处理政策和流程存在差异。一些银行可能对逾期行为更为严格，而另一些则可能更加宽容。这取决于银行的风险管理策略以及内部政策。
逾期的影响：
- 即使逾期金额不大，逾期行为仍会对持卡人的信用记录造成损害。信用卡逾期会被上报至征信系统，留下不良信用记录，这可能影响未来的贷款申请、信用卡办理，甚至在某些情况下对就业、租房等产生负面影响。
- 此外，逾期后银行会按照合同约定收取罚息和滞纳金，随着时间的推移，欠款金额可能会不断增加。
建议与措施：
- 尽快联系银行：如果信用卡逾期三千元，建议尽快与银行或信用卡公司联系，说明自己的情况，表达还款意愿，并协商制定合理的还款计划。这有助于避免逾期情况进一步恶化，减少额外的费用和可能的法律纠纷。
- 注意信用管理：以后应更加注意信用卡的使用和管理，确保按时还款，避免类似情况再次发生。良好的信用记录对个人财务和生活都有重要影响。
- 了解法律后果：持卡人应了解信用卡逾期的法律后果，包括可能的起诉、民事判决、强制执行等。这有助于增强还款意识，避免不必要的法律风险。
总结与提醒：
虽然信用卡逾期三千元被起诉的概率相对较低，但逾期行为仍会带来诸多不利影响。因此，我建议持卡人务必重视信用卡还款问题，及时与银行沟通并采取措施解决逾期问题。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。