遗嘱不给私生子，从法律角度讲，是合法的，但私生子同样享有继承权，这主要通过法定继承来实现。以下是对这一问题的详细分析：
一、遗嘱的合法性
遗嘱的自由原则：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，自然人有权依法立遗嘱处分个人财产，并可以指定遗嘱执行人。这意味着，遗嘱人可以在遗嘱中自由决定其财产的分配方式，包括选择不给某些法定继承人分配财产。
遗嘱的效力：只要遗嘱符合法律规定的形式要件（如自书遗嘱、代书遗嘱、录音遗嘱、口头遗嘱、公证遗嘱等）和实质要件（如遗嘱人具有完全民事行为能力、遗嘱内容真实合法、不违反公序良俗等），遗嘱就具有法律效力。因此，如果遗嘱人选择不给私生子分配财产，并且遗嘱符合上述要件，那么这一决定在法律上是有效的。
二、私生子的继承权
法定继承权：虽然遗嘱人可以在遗嘱中自由决定财产的分配，但私生子（即非婚生子女）同样享有与婚生子女同等的继承权。这是根据《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条的规定，即“本编所称子女，包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女”。因此，在法定继承的情况下，私生子有权继承遗产。
继承权的实现：如果遗嘱人没有留下遗嘱，或者遗嘱无效、部分无效，或者遗嘱中未对全部财产作出安排，那么就会进入法定继承程序。在法定继承中，私生子作为第一顺序继承人，有权与其他第一顺序继承人（如配偶、子女、父母）共同继承遗产。
三、遗嘱与法定继承的冲突与协调
遗嘱优先原则：在继承开始后，如果有遗嘱且遗嘱合法有效，那么首先按照遗嘱进行继承。这意味着，如果遗嘱人明确表示不给私生子分配财产，并且遗嘱符合法律要件，那么私生子将无法通过遗嘱继承获得财产。
必要份额的保障：然而，如果遗嘱人未为缺乏劳动能力又没有生活来源的继承人保留必要的遗产份额，那么在分配遗产时，应当先为该继承人留下必要的遗产，剩余的部分再参照遗嘱确定的分配原则处理。这一规定体现了法律对弱势继承人的保护。不过，这一条款并不直接适用于私生子的情况，除非私生子同时符合“缺乏劳动能力又没有生活来源”的条件。
四、建议与注意事项
遗嘱的谨慎订立：遗嘱人在订立遗嘱时，应当谨慎考虑所有继承人的利益，避免因为遗嘱内容不当而引发家庭纠纷。如果遗嘱人确实希望不给私生子分配财产，那么应当确保遗嘱的合法性和有效性，并考虑可能引发的法律后果。
法律咨询的重要性：在涉及遗产继承的问题上，建议遗嘱人和继承人都咨询专业律师的意见。律师可以根据具体情况提供法律建议，帮助当事人了解自己的权利和义务，避免因为法律知识不足而遭受损失。
家庭关系的和谐：遗产继承问题往往涉及家庭关系的和谐与稳定。因此，在处理这类问题时，应当注重沟通协商，尽量通过和平的方式解决争议，维护家庭关系的和谐。
总结来说，遗嘱不给私生子在法律上是合法的，但私生子同样享有继承权，这主要通过法定继承来实现。在处理遗产继承问题时，应当注重遗嘱的合法性和有效性，同时考虑家庭关系的和谐与稳定。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。