结论：对于还有半年退休且正在请病假的员工，公司能否辞退主要取决于员工是否符合法定保护条件以及员工是否存在过错。若员工符合法定保护条件或无明显过错，公司通常不得随意辞退；反之，在特定情况下，公司可以依法辞退并需支付相应经济补偿。
一、不能辞退的情况
法定禁止解除情形：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条，员工若在本单位连续工作满十五年，且距法定退休年龄不足五年，用人单位不得依据该法第四十条（如经营困难裁员）或第四十一条（如经济性裁员）的规定解除劳动合同。这意味着，对于还有半年退休且在本单位连续工作满十五年的员工，公司不得以常规理由辞退，否则构成违法解雇。
- 另外，如果员工正在规定的医疗期内，且患病或非因工负伤，公司同样不得依据上述条款解除劳动合同。医疗期的长短根据员工实际参加工作年限和在本单位工作年限确定，具体可参照相关规定。
无过错原则：
- 若员工一直认真履行工作职责，遵守公司规定，未出现严重违反规章制度、失职或营私舞弊等行为，公司仅以员工即将退休为由进行辞退，是不合法的。员工有权要求公司继续履行劳动合同或寻求法律救济。
二、可以辞退的情况
严重违纪等过错情形：
- 依据《劳动合同法》第三十九条，若员工存在严重违反用人单位规章制度、严重失职、营私舞弊给用人单位造成重大损害等过错情形，即使距离退休不足半年，公司也有权辞退且无需支付经济补偿。但公司需确保辞退行为有充分的事实依据和法律依据，避免违法辞退。
协商一致：
- 员工与公司双方可自愿协商解除劳动合同。此时，公司需按法律规定支付相应的经济补偿金。补偿标准一般根据员工在公司的工作年限确定，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年按一年计算，不满六个月支付半个月工资。若员工月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍，向其支付的经济补偿金标准按职工月平均工资三倍的数额支付，但支付年限最高不超过十二年。
三、经济补偿金的计算与支付（如适用）
- 经济补偿金按劳动者在本单位工作的年限计算，具体标准如上所述。
- “月工资”指劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资，包括计时工资、计件工资、奖金、津贴和补贴等货币性收入。
四、员工权益保障
- 若公司违法辞退还有半年退休的员工，员工可通过与公司协商、向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁等方式维护自身合法权益。
- 违法辞退的赔偿金标准为经济补偿标准的二倍。员工有权要求公司支付赔偿金，并可能要求公司继续履行劳动合同或恢复工作。
建议：作为即将退休的员工，在请病假期间应关注自己的权益保护。若公司提出辞退，应要求公司出具书面辞退通知，并明确辞退理由。如有异议，可及时咨询专业律师或向劳动监察部门投诉，以维护自己的合法权益。同时，我也建议您在遇到具体法律问题时直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。