结论：在请假去另一个公司上班的情况下，通常不可以与另一家公司签订劳动合同，否则可能面临多重法律风险。

1. 从劳动关系唯一性角度分析
   根据《劳动合同法》规定，劳动者在同一时间只能与一家用人单位建立全日制劳动关系。若您已与原公司存在劳动关系（即使处于请假状态），再与另一家公司签订劳动合同，可能构成双重劳动关系。虽然法律未完全禁止双重劳动关系（如非全日制用工或原单位同意的情形），但全日制用工场景下，原单位有权以“严重违反规章制度”为由解除劳动合同，且可能无需支付经济补偿。

2. 从合同效力角度分析
   若您隐瞒与原公司的劳动关系，与新公司签订劳动合同，该合同可能因“欺诈”或“违反法律强制性规定”被认定无效或部分无效。根据《劳动合同法》第二十六条，以欺诈手段使对方在违背真实意思的情况下订立的劳动合同无效，新公司可主张解除合同且不承担违约责任。

3. 从法律责任角度分析

   • 对原单位：若请假期间未履行请假手续或虚假请假，可能构成旷工，原单位可依据规章制度解除合同；若请假获准但从事竞业行为，可能违反竞业限制义务（如合同中有约定），需承担违约金。
     
   • 对新单位：若新单位不知情，您可能因隐瞒重要信息被追责；若新单位明知您存在劳动关系仍聘用，可能需与原单位共同承担连带赔偿责任（如造成原单位损失）。
     

4. 特殊情形说明
   若您与原单位为非全日制劳动关系，或原单位书面同意您兼职，则可与新公司签订劳动合同。但需注意：

   • 非全日制用工每日工作时间不超过4小时，每周累计不超过24小时；
     
   • 兼职需确保不影响原单位工作，且不违反竞业限制或保密义务。
     

建议：

• 若计划长期为另一家公司工作，建议先与原单位协商解除或暂停劳动关系，再与新公司签约；
  
• 若仅短期兼职，需确认是否符合非全日制用工条件，并书面告知新公司您的劳动关系状态；
  
• 任何操作前，建议梳理现有劳动合同条款（如竞业限制、保密义务），避免违约风险。
  

如有进一步疑问，可直接向我咨询具体操作细节。