结论前置：未婚生子男方在孩子小的时候一直未付抚养费，后续是可以起诉要求补付的。
法律背景与解释：
非婚生子女的法律地位：
- 根据我国法律，非婚生子女与婚生子女享有同等的法律地位，包括继承权、受抚养权等。这意味着，无论父母是否结婚，孩子都有权获得父母的抚养和支持。
抚养费的支付义务：
- 父母对子女有抚养教育的义务，这一义务不因父母是否结婚而改变。因此，即使父母未婚，男方作为孩子的生父，仍然有义务支付抚养费。
起诉补付抚养费的法律依据：
- 如果男方在孩子小的时候一直未付抚养费，女方（或孩子的法定代理人）有权向法院提起诉讼，要求男方补付拖欠的抚养费。法院会根据孩子的实际需要、父母的负担能力以及当地的实际生活水平等因素，来确定抚养费的数额和补付的期限。
法律建议与行动指南：
收集证据：
- 在起诉前，女方需要收集相关证据，如孩子的出生证明、男方与孩子的亲子关系证明（如DNA鉴定报告）、男方未支付抚养费的证据（如银行转账记录、聊天记录等）以及孩子的生活费用支出证明等。
提起诉讼：
- 女方可以向男方户籍所在地或经常居住地的法院提起诉讼，要求男方补付拖欠的抚养费。在诉讼过程中，女方需要提交上述收集的证据，并阐述自己的诉求和理由。
法院判决与执行：
- 如果法院认定男方确实存在拖欠抚养费的行为，将会判决男方补付拖欠的抚养费，并可能规定未来的抚养费支付方式和数额。如果男方不履行法院判决，女方可以向法院申请强制执行。
可能遇到的法律后果与注意事项：
男方可能提出的抗辩：
- 男方可能会提出各种抗辩理由，如经济困难、与女方有纠纷等。但这些理由并不能成为免除其支付抚养费义务的依据。法院在判决时会综合考虑各种因素，确保孩子的合法权益得到保障。
抚养费的调整：
- 随着孩子年龄的增长和生活水平的提高，原有的抚养费数额可能无法满足孩子的实际需要。此时，女方可以向法院提起诉讼，要求调整抚养费的数额。法院会根据实际情况进行裁决。
保持冷静与理性：
- 在处理此类纠纷时，女方应保持冷静与理性，避免情绪化的行为影响案件的进展和结果。同时，女方也应积极寻求法律援助和支持，确保自己的合法权益得到维护。
总结与进一步思考：
未婚生子男方在孩子小的时候一直未付抚养费，女方有权向法院提起诉讼要求补付。在处理此类纠纷时，女方需要收集相关证据、了解法律程序和可能遇到的法律后果，并保持冷静与理性。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。