针对您提出的问题，即“全民所有制固定工在企业改制倒闭破产下岗且未解除劳动关系的情况下，是否可以办理失业登记”，以下是我的详细解答：
首先，我们需要明确失业登记的基本条件。根据相关规定，办理失业登记的人员通常需要满足以下条件：在法定劳动年龄内、有劳动能力、有就业要求、且处于无业状态。这包括从各类学校毕业、肄业，被企业解除或终止劳动关系，企业破产倒闭终止劳动关系，从机关事业单位被辞退解聘，从各类单位辞职，私营企业、民办非企业业主停业、破产，终止从事个体工商户，承包土地被征用，退出公益性岗位，军人退出现役且未纳入国家统一安置，刑满释放、假释、监外执行，以及国家和本市规定的其他情形。
针对您的情况，虽然您目前未与企业解除劳动关系，但企业已经改制倒闭破产，且您处于下岗状态，这实际上已经构成了“无业状态”的一种特殊情况。然而，关键在于您是否已经正式与企业解除了劳动关系，因为这是办理失业登记的一个重要前提。如果您的劳动关系尚未正式解除，那么从严格意义上讲，您可能还不完全符合失业登记的条件。
不过，在实际操作中，各地对于失业登记的具体规定可能存在差异。有些地方可能对于企业改制倒闭破产导致的下岗职工，即使劳动关系尚未完全解除，也会提供一定的灵活性和便利，允许他们先进行失业登记，以便享受相关的就业扶持政策和失业保险待遇。
因此，我建议您采取以下步骤：
咨询当地公共就业服务机构：首先，您可以前往您户籍地或常住地的区公共就业服务机构或街道（乡镇）劳动保障服务机构进行咨询。他们能够提供最准确、最权威的信息，并指导您如何办理失业登记。
准备相关材料：如果当地政策允许您在这种情况下办理失业登记，您需要准备相关的材料，如身份证、与企业终止或解除劳动关系的初步证明（如企业破产倒闭的公告、下岗通知等）、以及填写好的《失业人员登记表》等。
提交申请并等待审核：将准备好的材料提交给公共就业服务机构，并等待他们的审核。如果审核通过，您就可以正式办理失业登记，并享受相关的就业扶持政策和失业保险待遇。
总之，虽然您目前未与企业解除劳动关系，但企业改制倒闭破产导致的下岗状态可能使您符合失业登记的特殊条件。我建议您尽快咨询当地公共就业服务机构，了解具体的政策和办理流程，以便及时享受相关的权益和保障。