要证明母亲死亡后只有一个子女，可以通过以下几种方式来进行，这些方式主要依赖于相关证据的收集和呈现：
户籍资料：
- 户籍登记是证明家庭成员关系的重要官方文件。可以前往母亲户籍所在地的派出所或相关户籍管理部门，申请查询并获取母亲的户籍档案。户籍档案中通常会记录家庭成员的基本信息，包括子女的数量及姓名。如果户籍档案中明确显示母亲只有一个子女，那么这就是一个有力的证据。
出生证明或收养证明：
- 如果母亲有子女，那么每个子女的出生证明都是证明其存在的重要文件。可以收集所有子女的出生证明，并核对数量。如果只有一份出生证明，且该证明与母亲相关，那么可以初步证明母亲只有一个子女。
- 如果存在收养情况，收养证明也是证明子女关系的重要文件。同样，可以收集并核对收养证明的数量。
亲属关系证明：
- 可以前往母亲生前的工作单位、社区或村委会等机构，申请开具亲属关系证明。这些机构通常会根据其掌握的档案和记录，出具证明母亲子女情况的官方文件。
证人证言：
- 可以寻找了解母亲家庭情况的亲友、邻居或同事等作为证人，请他们出具书面证言或出庭作证，证明母亲只有一个子女。证人证言虽然不如官方文件具有权威性，但在某些情况下也可以作为辅助证据。
法律文件或遗嘱：
- 如果母亲生前有留下法律文件或遗嘱，并且其中明确提到了子女的数量及姓名，那么这些文件也可以作为证明母亲只有一个子女的证据。
在收集证据的过程中，需要注意以下几点：
- 证据的真实性：确保所收集的证据是真实可靠的，没有伪造或篡改的痕迹。
- 证据的完整性：尽量收集全面、完整的证据，以形成完整的证据链，提高证明力。
- 证据的合法性：确保所收集的证据是合法取得的，没有侵犯他人的合法权益。
如果面临无法直接获取某些证据的情况，可以考虑以下策略：
- 申请法院调查取证：在诉讼过程中，如果某些证据难以自行获取，可以向法院申请调查取证，由法院依法调取相关证据。
- 寻求专业帮助：如果证据收集过程复杂或遇到法律难题，可以寻求专业律师的帮助，他们可以提供法律意见和指导，协助你更好地收集证据和证明事实。
在证明母亲只有一个子女的过程中，如果遇到其他家庭成员的争议或质疑，应保持冷静和理性，通过合法途径解决争议。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。