在探讨雇佣关系（即劳动关系）到期终止合同时的赔偿问题，我们主要依据的是《劳动合同法》的相关规定。以下是对这一问题的详细解答：
一、用人单位需支付经济补偿的情形
用人单位不续签或降低条件续签而劳动者拒绝：
- 当劳动合同期满，如果用人单位决定不再续签，或者提出降低原劳动合同条件（如降低薪资、减少福利等）的续签要求而劳动者拒绝时，用人单位需要向劳动者支付经济补偿。
- 经济补偿的计算方式：按照劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准。工作六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。这里的月工资是指劳动者在劳动合同终止前十二个月的平均工资。若月工资高于当地职工月平均工资三倍的，则按三倍支付，且支付年限最高不超过十二年。
因用人单位原因终止合同：
- 如果劳动合同终止是因为用人单位被依法宣告破产、被吊销营业执照、责令关闭、撤销或者用人单位决定提前解散等，用人单位同样需要支付经济补偿，支付标准与上述相同。
二、用人单位无需支付经济补偿的情形
维持或提高条件续签而劳动者拒绝：
- 当劳动合同期满，用人单位提出维持或提高原劳动合同条件续签，但劳动者因个人原因（如希望换工作、家庭原因等）拒绝续签时，用人单位无需支付经济补偿。
法定原因终止：
- 如果劳动合同终止是因为劳动者开始依法享受基本养老保险待遇、劳动者死亡或被宣告死亡或失踪等法定原因，用人单位也无需支付经济补偿。
三、特殊情况下的赔偿处理
- 违法终止合同：
- 如果用人单位在应当订立无固定期限劳动合同的情况下（如连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有严重违反公司规定等情形），却选择终止合同，这属于违法终止。此时，用人单位需要按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
四、争议解决途径
- 如果劳动者与用人单位就劳动合同到期终止的赔偿问题产生争议，建议首先双方进行协商，尝试达成一致。
- 如果协商不成，劳动者可以向当地的劳动争议仲裁机构申请仲裁，寻求专业的仲裁裁决。
- 对仲裁结果不服的，劳动者还可以向人民法院提起诉讼，通过法律途径来维护自己的合法权益。
综上所述，劳动合同到期终止时的赔偿问题需根据具体情形来确定。无论是用人单位还是劳动者，在处理此类问题时都应充分了解相关法律法规，确保自身权益得到妥善保护。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，建议咨询专业的法律人士。