银行无权直接要求员工家属提供银行流水，除非在特定法定情形下并履行合法程序。以下从不同角度进行分析：

1. 从银行与员工的关系角度
   银行怀疑员工涉赌，属于对员工职业行为的内部调查范畴。根据《商业银行内部控制指引》等规定，银行有权对员工行为进行监督，但调查范围通常限于员工本人工作相关的账户、交易记录及行为表现。若需进一步调查，银行应首先通过内部合规程序（如要求员工说明资金来源、调取员工本人账户流水等）进行初步核实，而非直接将调查范围扩大至员工家属。

2. 从家属银行流水的法律属性角度
   家属的银行流水属于其个人隐私信息，受《民法典》第1032条保护。银行作为金融机构，无权未经法定程序（如司法机关调查令、家属自愿提供等）获取非客户本人的账户信息。若银行擅自要求家属提供流水，可能涉嫌侵犯公民个人信息权，家属有权拒绝并可向监管部门投诉。

3. 从司法调查的法定程序角度
   若银行怀疑员工涉赌且可能涉及刑事犯罪（如赌博罪、职务侵占罪等），应向公安机关报案。根据《刑事诉讼法》第52条，公安机关有权依法向银行调取涉案人员（包括员工及其关联人员）的账户流水，但需出示合法手续（如调取证据通知书）。此时，家属需配合司法机关调查，但银行本身无权直接要求家属提供。

建议行动方向：

• 若银行已掌握员工涉赌的初步证据（如异常大额转账、频繁与赌博网站关联账户交易等），应优先通过内部合规程序处理，并同步向公安机关报案；
  
• 若银行仅因怀疑要求家属提供流水，家属可明确拒绝并要求银行通过合法途径（如司法机关）调取；
  
• 若银行行为已对家属造成困扰（如频繁骚扰、泄露隐私等），家属可依据《民法典》第179条主张侵权责任，或向银保监会投诉银行违规操作。
  

如有进一步细节（如银行是否已报案、家属是否收到正式通知等），可向我补充说明，我会结合具体情形提供更精准的法律分析。