核心结论：在肇事者逃跑且医院费用未结清的情况下，您可以通过以下方式处理出院及费用问题：

1. 与医院协商分期或暂缓支付
   首先，您可以主动与医院沟通，说明事故经过及肇事者逃逸的情况，申请分期支付或暂缓支付医疗费用。根据《民法典》第1216条，肇事者逃逸后，若您已报警且公安机关立案，可向医院提供相关证明（如报警回执、事故认定书等），争取医院的理解与支持。部分医院在核实情况后，可能允许您先出院，后续再通过法律途径追偿费用。

2. 通过交通事故救助基金垫付
   若您或肇事车辆投保了交强险，可申请道路交通事故社会救助基金垫付部分或全部医疗费用。根据《道路交通安全法》第75条，救助基金适用于肇事者逃逸、无力赔偿等情形。您需向当地交警部门或救助基金管理机构提交申请材料（如医疗证明、费用清单、事故认定书等），审核通过后，救助基金将直接支付给医院。

3. 保留证据，后续通过法律途径追偿
   即使暂时无法结清费用，也务必保留所有医疗费用单据、诊断证明、用药清单等证据，并尽快报警。公安机关立案后，您可向法院提起民事诉讼，要求肇事者赔偿医疗费、误工费等损失。若肇事者被查获，法院将强制执行其财产；若未查获，您可申请将肇事车辆投保的保险公司列为被告，要求其在交强险范围内先行赔偿（剩余部分由救助基金垫付）。

4. 特殊情况：若您无过错且经济困难
   若您因事故导致生活困难，可向当地民政部门申请临时救助，或通过法律援助中心申请免费律师协助处理赔偿事宜。根据《法律援助条例》第10条，因交通事故请求赔偿的公民，若经济困难，可获得法律援助。

行动建议：

• 立即报警并保留报警回执；
  
• 与医院协商费用支付方案，争取先出院；
  
• 尽快申请救助基金或法律援助；
  
• 收集所有证据，为后续诉讼做准备。
  

如有进一步疑问，可直接向我咨询，我会结合您的具体情况提供更详细的法律建议。