在遗产范围内承担责任的案件，其执行主要遵循以下步骤和原则：
一、执行依据与前提
生效法律文书：首先，必须存在一份生效的法律文书，如判决书、裁定书或调解书，明确确定了被执行人需在遗产范围内承担责任。这是执行的基础和前提。
遗产范围确定：在执行前，需要明确遗产的具体范围。这通常涉及对遗产的评估、鉴定和确认，以确保执行过程中不会侵犯到其他继承人的合法权益。
二、执行程序
申请执行：
- 权利人（如债权人）需向有管辖权的人民法院提交执行申请，并提供生效法律文书和遗产范围的相关证据。
- 法院在收到申请后，会进行审查，确认申请材料的完整性和合法性。
执行通知：
- 法院在确认申请有效后，会向被执行人发出执行通知，要求其在规定期限内履行义务。
- 如果被执行人未在规定期限内履行，法院将采取进一步的执行措施。
执行措施：
- 查封、扣押、冻结：法院可以对被执行人名下的遗产进行查封、扣押或冻结，以防止其转移或隐匿财产。
- 拍卖、变卖：对于需要变现的遗产，法院可以依法进行拍卖或变卖，并将所得款项用于清偿债务。
- 划拨存款：如果被执行人在银行有存款，法院可以直接划拨其存款用于清偿债务。
参与分配：
- 如果被执行人的遗产不足以清偿所有债务，或者存在多个债权人，法院会组织参与分配程序。
- 在参与分配程序中，各债权人按照法定顺序和比例分配遗产所得款项。
三、特殊情况处理
遗产不足清偿：
- 如果被执行人的遗产确实不足以清偿所有债务，法院会裁定终结本次执行程序。
- 但债权人发现被执行人有其他财产或遗产时，可以随时向法院申请恢复执行。
被执行人拒不履行：
- 如果被执行人拒不履行生效法律文书确定的义务，法院可以对其采取罚款、拘留等强制措施。
- 在严重情况下，法院还可以将拒不执行判决、裁定的行为移送公安机关立案侦查，追究其刑事责任。
四、法律建议
及时申请执行：权利人应在生效法律文书确定的履行期限届满后及时申请执行，以免因超过申请执行时效而丧失权利。
提供充分证据：在申请执行时，权利人应提供充分的证据证明遗产的范围和被执行人的财产状况，以便法院准确、高效地执行。
关注执行进展：权利人应密切关注执行进展，及时与法院沟通联系，了解执行情况并配合法院的工作。
如果您在遗产范围内承担责任的案件执行过程中遇到任何问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我会根据您的具体情况提供专业的法律意见和解决方案。