结论：在婚姻期间，父亲给私生子的花费，在符合一定条件下，是可以被追讨的。这主要涉及到夫妻共同财产的保护以及无过错方的权益维护。

分析说明：

1. 夫妻共同财产的保护：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，夫妻在婚姻关系存续期间所得的财产，归夫妻共同所有，双方有平等的处理权。这意味着，任何一方在未经对方同意的情况下，不得擅自处分夫妻共同财产。
   • 如果父亲在婚姻期间，未经母亲同意，将夫妻共同财产赠与私生子，这种行为可能构成对母亲财产权益的侵害。母亲作为无过错方，有权要求返还这部分财产。

2. 无过错方的权益维护：

   • 在婚姻关系中，如果一方存在过错行为（如婚外情、与他人同居等），并因此导致夫妻共同财产的减少或损失，无过错方有权要求过错方进行赔偿或返还财产。
   • 父亲给私生子的花费，如果被认定为是对夫妻共同财产的擅自处分，且这种处分行为与父亲的过错行为（如婚外情）有关，那么母亲作为无过错方，有权要求父亲返还这部分财产，或者通过法律途径追讨。

3. 追讨的法律依据和程序：

   • 母亲可以依据《中华人民共和国民法典》中关于夫妻共同财产、无过错方权益保护的相关规定，向法院提起诉讼，要求父亲返还擅自处分的夫妻共同财产。
   • 在诉讼过程中，母亲需要提供充分的证据证明父亲的花费行为，以及这部分花费属于夫妻共同财产且未经其同意。同时，母亲还需要证明父亲的行为存在过错，且与其花费行为有关。

4. 特殊情况下的考虑：

   • 如果父亲给私生子的花费是用其个人财产支付的，且这部分财产不属于夫妻共同财产的范围，那么母亲可能无法直接追讨这部分财产。但是，如果父亲的个人财产来源不明或者存在其他违法情况，母亲仍然可以通过法律途径进行维权。
   • 另外，如果父亲的花费行为已经得到了母亲的默认或者事后追认，那么母亲可能无法再要求返还这部分财产。因此，在处理这类问题时，需要综合考虑各种因素和证据。

行动建议：

• 如果您作为母亲，发现父亲在婚姻期间给私生子花费了大量夫妻共同财产，且未经您同意，建议您及时收集相关证据（如银行转账记录、消费凭证等），并向法院提起诉讼要求返还。
• 在诉讼过程中，您可以寻求专业律师的帮助，以便更好地维护自己的合法权益。同时，也要保持冷静和理性，避免因为情绪激动而做出不利于自己的决策。

后续思考依据：

• 在处理这类问题时，需要充分考虑夫妻共同财产的保护、无过错方的权益维护以及法律程序的适用等因素。只有综合考虑这些因素，才能做出更加合理和有效的决策。
• 另外，随着法律的不断完善和社会的发展，对于这类问题的处理方式和法律依据也可能会有所变化。因此，在处理这类问题时，还需要关注最新的法律法规和司法实践动态。